{"id":852,"date":"2026-07-30T12:22:24","date_gmt":"2026-07-30T12:22:24","guid":{"rendered":"https:\/\/matforge.org\/?p=852","raw":"https:\/\/matforge.org\/?p=852"},"modified":"2026-07-30T12:22:24","modified_gmt":"2026-07-30T12:22:24","slug":"physics-informed-neural-networks-pinns-for-scientific-simulations","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matforge.org\/de\/physics-informed-neural-networks-pinns-for-scientific-simulations\/","title":{"rendered":"Physik-informierte Neuralnetze (PINNs) f\u00fcr wissenschaftliche Simulationen","raw":"Physik-informierte Neuralnetze (PINNs) f\u00fcr wissenschaftliche Simulationen"},"content":{"rendered":"<span class=\"span-reading-time rt-reading-time\" style=\"display: block;\"><span class=\"rt-label rt-prefix\">Reading Time: <\/span> <span class=\"rt-time\"> 9<\/span> <span class=\"rt-label rt-postfix\">minutes<\/span><\/span><h2>Schl\u00fcssel zum Mitnehmen<\/h2>\n<ul>\n<li>Physikinformierte neuronale Netzwerke betten physikalische Gesetze direkt in das Training des neuronalen Netzwerks ein. Sie k\u00f6nnen PDEs ohne traditionelle Netzgenerierung oder massive Datens\u00e4tze l\u00f6sen.<\/li>\n<li>Traditionelle ML-Surrogate ben\u00f6tigen oft viele Simulationsl\u00e4ufe, um zu trainieren. Pinns verwenden physikalische Gleichungen als Einschr\u00e4nkungen und k\u00f6nnen mit Grenzdaten oder sp\u00e4rlichen Messungen arbeiten.<\/li>\n<li>Ein Pinn gibt Vorhersagen aus, w\u00e4hrend der PDE-Residuum durch automatische Differenzierung minimiert wird. Wenn Vorhersagen gegen die ma\u00dfgebliche Physik versto\u00dfen, wird das Netzwerk w\u00e4hrend des Trainings bestraft.<\/li>\n<li>Pinns sind n\u00fctzlich f\u00fcr inverse Probleme, sp\u00e4rliche Datenregime, unregelm\u00e4\u00dfige Geometrien und F\u00e4lle, in denen die Erzeugung von Netzen schwierig ist.<\/li>\n<li>Pinns sind nicht ideal f\u00fcr einfache Probleme, bei denen traditionelle L\u00f6ser gut funktionieren oder wenn Sie strenge Fehler- und Konvergenzgarantien ben\u00f6tigen.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Sie versuchen, eine partielle Differentialgleichung zu l\u00f6sen. Es kann die W\u00e4rmediffusion in einer neuen Legierung, eine Fl\u00fcssigkeitsstr\u00f6mung um eine Turbinenschaufel oder eine Phasenfeldentwicklung in einer Batterieelektrode beschreiben.<\/p>\n<p>Traditionell w\u00fcrden Sie die Dom\u00e4ne in ein Netz diskretisieren, ein numerisches Schema einrichten, das resultierende System l\u00f6sen und hoffen, dass das Netz keine numerischen Probleme verursacht.<\/p>\n<p>Physikinformierte neuronale Netze bieten einen anderen Ansatz. Anstatt zuerst ein Mesh zu bauen, trainieren Sie ein neuronales Netzwerk, das die L\u00f6sung lernt und gleichzeitig durch die ma\u00dfgebliche physikalische Gleichung eingeschr\u00e4nkt wird.<\/p>\n<p>Seit ihrer Einf\u00fchrung durch Raissi, Perdikaris und Karniadakis haben sich Pinns von einer spezialisierten akademischen Idee zu einem wichtigen Werkzeug in der Computerwissenschaften entwickelt. Sie sind besonders n\u00fctzlich f\u00fcr Probleme, die sowohl f\u00fcr traditionelle numerische Methoden als auch f\u00fcr konventionelles maschinelles Lernen unangenehm sind.<\/p>\n<p>Diese Anleitung erkl\u00e4rt das Kernkonzept, wie Pinns funktionieren, wie man eine einfache Version in PyTorch implementiert, wo sie helfen und wo ihre Einschr\u00e4nkungen wichtig sind.<\/p>\n<h2>Die Kernidee: Lehren eines neuronalen Netzwerks Die Gesetze der Physik<\/h2>\n<p>Ein Standardmodell f\u00fcr maschinelles Lernen lernt, indem es den Fehler zwischen Vorhersagen und einem Trainingsdatensatz minimiert. Es ist meist datengesteuert. Sie geben Beispiele an, das Modell findet Muster und Sie hoffen, dass es verallgemeinert wird.<\/p>\n<p>Ein physikinformiertes neuronales Netzwerk verwendet einen anderen Ansatz. Es trainiert sowohl Daten als auch Physik.<\/p>\n<p>Das neuronale Netz sagt die L\u00f6sung einer PDE voraus. Die Verlustfunktion misst nicht nur, wie nahe die Vorhersage den verf\u00fcgbaren Daten ist, sondern auch, wie gut die Vorhersage die ma\u00dfgebliche Differentialgleichung erf\u00fcllt.<\/p>\n<p>Mit anderen Worten, das Netzwerk wird bestraft, wenn es gegen die Physik verst\u00f6\u00dft.<\/p>\n<p>Betrachten Sie eine in Restform geschriebene PDE:<\/p>\n<p>f(u, x, \u2202u\/\u2202x, \u2202\u00b2u\/\u2202x\u00b2, &#8230;) = 0<\/p>\n<p>Hier ist <em>u <\/em> die L\u00f6sung, und die Ableitungen werden in Bezug auf die r\u00e4umlichen oder zeitlichen Koordinaten genommen. Ein Pinn baut eine Verlustfunktion mit zwei Hauptkomponenten auf:<\/p>\n<ol>\n<li>Datenverlust. Dies misst den mittleren quadratischen Fehler zwischen Netzwerkvorhersagen und verf\u00fcgbaren Daten wie Anfangsbedingungen, Randbedingungen oder sp\u00e4rlichen Messungen.<\/li>\n<li>Physikverlust. Dies misst den mittleren quadratischen PDE-Rest an Kollokationspunkten, die \u00fcber die Dom\u00e4ne abgetastet werden.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Das Modell optimiert beide Begriffe gleichzeitig. Es lernt Vorhersagen, die mit Daten und der ma\u00dfgeblichen Physik \u00fcbereinstimmen.<\/p>\n<h2>Wie Pinns tats\u00e4chlich funktionieren: Die Architektur<\/h2>\n<p>Die neuronale Netzwerkarchitektur f\u00fcr Pinns ist normalerweise ein mehrschichtiges Perzeptron.<\/p>\n<p>Die Eingabeschicht empf\u00e4ngt r\u00e4umliche Koordinaten wie <code>x<\/code>, <code>y<\/code> und <code>z<\/code> und m\u00f6glicherweise Zeit <code>t<\/code>. F\u00fcr ein 2D-Stadium-Problem k\u00f6nnen zwei Eing\u00e4nge vorhanden sein. Bei einem vor\u00fcbergehenden 1D-Problem sind die Eing\u00e4nge h\u00e4ufig <code>x<\/code>  und <code>t<\/code> .<\/p>\n<p>Die versteckten Schichten enthalten in der Regel 2 bis 5 Schichten mit je 50 bis 200 Neuronen. Die <code>tanh<\/code>-Aktivierungsfunktion wird h\u00e4ufig gegen\u00fcber Relu bevorzugt, da viele PDE-L\u00f6sungen glatt sind und glatte Aktivierungen durchgehende physikalische Felder besser darstellen k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Die Ausgabeschicht enth\u00e4lt ein Neuron pro Unbekannt. Beispielsweise kann es Temperatur, Konzentration, Druck oder Geschwindigkeit ausgeben. Multiphysische Probleme k\u00f6nnen mehrere Ausgangsneuronen mit einer kombinierten Verlustfunktion verwenden.<\/p>\n<p>Die automatische Differenzierung ist der Schl\u00fcsselmechanismus. Anstatt Ableitungen durch endliche Differenzen zu approximieren, berechnet die automatische Differenzierung Ableitungen der Netzwerkausgabe in Bezug auf ihre Eingaben. Auf diese Weise kann das Modell den PDE-Residuum direkt innerhalb der Verlustfunktion auswerten.<\/p>\n<h2>Die Verlustfunktion: zwei Begriffe, ein Ziel<\/h2>\n<p>Eine typische Pinn-Loss-Funktion sieht folgenderma\u00dfen aus:<\/p>\n<p>l_total = \u03bb_data \u00d7 l_data + \u03bb_physics \u00d7 l_physics<\/p>\n<p>Die Gewichtungsfaktoren gleichen die beiden Begriffe aus. Dieses Gleichgewicht ist wichtig. Wenn der Physikverlust zu stark dominiert, kann das Modell Datenbeschr\u00e4nkungen ignorieren. Wenn der Datenverlust dominiert, kann die physikalische Einschr\u00e4nkung zu schwach werden.<\/p>\n<p><code>L_data<\/code> misst Vorhersagefehler gegen verf\u00fcgbare Messungen, Anfangsbedingungen oder Randbedingungen.<\/p>\n<p><code>L_physics<\/code> misst den PDE-Residuum. Die Netzwerkvorhersage wird in die Differentialgleichung eingesteckt, quadratisch und \u00fcber Kollokationspunkte innerhalb der Dom\u00e4ne gemittelt.<\/p>\n<p>Die Schl\u00fcsselidee ist, dass das Modell kein festes Netz ben\u00f6tigt. Durch Probenahmestellen im gesamten Bereich lernt das Netzwerk, die PDE zu erf\u00fcllen, an der die Physik definiert ist. Es gibt keine Elementkonnektivit\u00e4t, Probleme mit der Netzqualit\u00e4t oder traditionelle Netzanforderungen.<\/p>\n<h2>Ein bearbeitetes Beispiel: L\u00f6sen der W\u00e4rmegleichung<\/h2>\n<p>Betrachten Sie die 1D-W\u00e4rmegleichung:<\/p>\n<p>\u2202U\/\u2202T = \u2202\u00b2U\/\u2202x\u00b2, mit U(x,0) = sin(\u03c0x)<\/p>\n<p>Dieses Problem hat eine bekannte analytische L\u00f6sung:<\/p>\n<p>U(x,t) = E<sup>-\u03c0\u00b2t<\/sup> \u00d7 sin(\u03c0x)<\/p>\n<p>Hier ist ein einfaches Pinn-Setup f\u00fcr dieses Problem in PyTorch:<\/p>\n<pre><code class=\"language-python\">import torch\nimport torch.nn as nn\n\nclass PINN(nn.Module):\n    def __init__(self):\n        super().__init__()\n        # Two hidden layers, 50 neurons each, tanh activation\n        self.fc1 = nn.Linear(2, 50)   # inputs: x, t\n        self.fc2 = nn.Linear(50, 50)\n        self.fc3 = nn.Linear(50, 1)   # output: u(x,t)\n        self.activation = torch.tanh\n        \n    def forward(self, x, t):\n        x = self.activation(self.fc1(torch.stack([x, t], dim=-1)))\n        x = self.activation(self.fc2(x))\n        return self.fc3(x).squeeze()\n\n# Create the network\nmodel = PINN()\n\n# Automatic differentiation for physics loss\nx = torch.tensor(x_data, requires_grad=True)\nt = torch.tensor(t_data, requires_grad=True)\n\nu = model(x, t)\nu_t = torch.autograd.grad(u.sum(), t, create_graph=True)[0]\nu_x = torch.autograd.grad(u.sum(), x, create_graph=True)[0]\nu_xx = torch.autograd.grad(u_x.sum(), x, create_graph=True)[0]\n\n# Physics loss: |\u2202u\/\u2202t - \u2202\u00b2u\/\u2202x\u00b2|\u00b2\nphysics_loss = torch.mean((u_t - u_xx)**2)\n\n# Data loss: boundary or initial conditions\ndata_loss = torch.mean((u - u_initial)**2)\n\n# Total loss\ntotal_loss = physics_loss + data_loss\n<\/code><\/pre>\n<p>W\u00e4hrend des Trainings wird das Netzwerk durch das automatische Differenzierungsdiagramm zur\u00fcckgedr\u00e4ngt. Es passt die Gewichte an, um sowohl den PDE-Rest als auch den Grenz- oder Anfangszustandsfehler zu minimieren.<\/p>\n<p>Nach dem Training kann das Modell die L\u00f6sung an jedem Punkt im Bereich bewerten, einschlie\u00dflich Punkte, die w\u00e4hrend des Trainings nicht direkt verwendet wurden.<\/p>\n<h2>Pinns vs. traditionelle ML-Surrogate<\/h2>\n<p>Pinns beziehen sich auf maschinelles Lernen, aber sie sind nicht gleich. Ein traditioneller Ersatz lernt aus vielen Input-Output-Beispielen, die durch Simulationen erstellt wurden. Ein Pinn lernt durch die Durchsetzung von Gleichungen w\u00e4hrend des Trainings.<\/p>\n<table class=\"custom-table\">\n<tbody>\n<tr>\n<th>Aspekt<\/th>\n<th>Traditionelle ML Ersatz<\/th>\n<th>Physikinformiertes neuronales Netzwerk<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Trainingsdaten<\/td>\n<td>Normalerweise sind viele Simulationsl\u00e4ufe erforderlich<\/td>\n<td>Kann mit Randbedingungen und sp\u00e4rlichen Daten arbeiten<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Physik-Integration<\/td>\n<td>Lernt Muster aus Daten<\/td>\n<td>Verwendet Physik als Verlustbeschr\u00e4nkung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Netzgenerierung<\/td>\n<td>Vom Modell selbst nicht erforderlich<\/td>\n<td>Nicht erforderlich<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Inverse Probleme<\/td>\n<td>schwierig ohne beschriftete Parameterdaten<\/td>\n<td>Nat\u00fcrlich, weil unbekannte Parameter trainierbare Variablen sein k\u00f6nnen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Datenregime<\/td>\n<td>Funktioniert am besten mit reichlich Daten<\/td>\n<td>Kann gut mit sp\u00e4rlichen oder ohne Innendaten funktionieren<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Mathematische Garantien<\/td>\n<td>Normalerweise statistisch<\/td>\n<td>Begrenzte strenge Garantien<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Rechenkosten bei Inferenz<\/td>\n<td>Nahezu sofort<\/td>\n<td>Nahezu sofort<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Ausbildungskosten<\/td>\n<td>Moderate, aber Datengenerierung kann teuer sein<\/td>\n<td>Oft hoch, da Optimierung viele Iterationen erfordern kann<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Die grundlegende Unterscheidung ist folgender: Ein traditioneller Ersatz lernt durch viele Beispiele eine Zuordnung von Inputs zu Outputs. Ein Pinn lernt eine L\u00f6sung, die durch die ma\u00dfgeblichen Gleichungen eingeschr\u00e4nkt wird. Sie ben\u00f6tigen nicht Tausende von Simulationsl\u00e4ufen, wenn Sie die Physik und Randbedingungen bereits kennen.<\/p>\n<h2>Wann Sie Pinns verwenden: Die Entscheidungsmatrix<\/h2>\n<p>Pinns sind kein universeller Ersatz f\u00fcr herk\u00f6mmliche Solver. Sie sind in bestimmten Szenarien n\u00fctzlich.<\/p>\n<h3>Wenn Pinns stark passen<\/h3>\n<ul>\n<li>umgekehrte Probleme. Pinns k\u00f6nnen dabei helfen, unbekannte Parameter wie Leitf\u00e4higkeit, Diffusivit\u00e4t oder Reaktionsraten aus sp\u00e4rlichen Beobachtungen zu entdecken.<\/li>\n<li>Hochdimensionale Parameterr\u00e4ume. PINNs k\u00f6nnen Parameter als Netzwerkeingaben behandeln und \u00fcber Parameterbereiche hinweg lernen.<\/li>\n<li>unregelm\u00e4\u00dfige oder komplexe Geometrien. Da keine Mesh-Generierung erforderlich ist, k\u00f6nnen Sie Punkte in der Dom\u00e4ne abtasten und das Netzwerk von der Kollokationspunktverteilung lernen lassen.<\/li>\n<li>sp\u00e4rliche Datenregime. Physikalische Einschr\u00e4nkungen wirken als Regularisierung, wenn Daten allein nicht ausreichen w\u00fcrden.<\/li>\n<li>Multi-Fidelity-Probleme. Pinns k\u00f6nnen Informationen mit geringerer und h\u00f6herer Genauigkeit durch gewichtete Verlustbedingungen kombinieren.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Wann man Pinns meidet<\/h3>\n<ul>\n<li>Einfache Probleme, bei denen traditionelle L\u00f6ser bereits gut funktionieren. Wenn ein Standardl\u00f6ser schnell und genau zusammenl\u00e4uft, kann ein Pinn unn\u00f6tige Komplexit\u00e4t verursachen.<\/li>\n<li>Probleme, die beweisbare Fehlergrenzen erfordern. Pinns haben noch nicht die gleiche Konvergenztheorie wie reife Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Methoden.<\/li>\n<li>Hochgenaue Anforderungen in der N\u00e4he von Singularit\u00e4ten. Standardpinns k\u00f6nnen mit scharfen Gradienten, Diskontinuit\u00e4ten und Grenzschichten k\u00e4mpfen.<\/li>\n<li>F\u00e4lle, in denen Sie bereits einen validierten, optimierten Solver haben. Wenn Ihr vorhandener FVM- oder FEM-Solver schnell und genau ist, hilft es m\u00f6glicherweise nicht, ihn zu ersetzen.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Echte wissenschaftliche Anwendungen<\/h2>\n<p>Pinns wurden in vielen wissenschaftlichen Bereichen angewendet.<\/p>\n<p>In der Plasmaphysik und Astrophysik wurden Pinns verwendet, um Grad-Shafranov-Gleichungen f\u00fcr magnetische Gleichgewichte und Spur-Emden-Gleichungen f\u00fcr die Sternstruktur zu l\u00f6sen. Diese Probleme k\u00f6nnen gemischte Randbedingungen beinhalten, die f\u00fcr einige traditionelle Solver herausfordernd sind.<\/p>\n<p>In der Fluiddynamik wurden Pinns verwendet, um volle Geschwindigkeitsfelder aus sp\u00e4rlichen Messdaten zu schlie\u00dfen, indem Navier-Stokes-Gleichungen als Einschr\u00e4nkungen erzwungen werden.<\/p>\n<p>In der biomedizinischen Bildgebung wurden physikinformierte Modelle verwendet, um Flussdaten zu filtern und zu rekonstruieren unter Einhaltung der Massenerhaltung und Impulsgleichungen.<\/p>\n<p>In der Elektrochemie werden Pinns f\u00fcr gekoppelte Diffusionsreaktionssysteme untersucht, einschlie\u00dflich Batterieelektrodenmodellierung, bei denen keine analytischen L\u00f6sungen verf\u00fcgbar sind.<\/p>\n<h2>H\u00e4ufige Fallstricke und wie man sie vermeidet<\/h2>\n<h3>1. Verlustungleichgewicht<\/h3>\n<p>Das h\u00e4ufigste Trainingsversagen ist ein Verlust, der einen anderen dominiert. Der Physikverlust kann viel gr\u00f6\u00dfer sein als der Datenverlust, oder das Gegenteil kann passieren. In diesem Fall kann das Modell eine Einschr\u00e4nkung vollst\u00e4ndig ignorieren.<\/p>\n<p>Beheben Sie dies, indem Sie beide Verlustbedingungen normalisieren. Verwenden Sie adaptive Gewichtungsschemata, die <code>\u03bb_data<\/code> und <code>\u03bb_physics<\/code> basierend auf der relativen Gr\u00f6\u00dfe jedes Terms anpassen. \u00dcberwachen Sie beide Verluste w\u00e4hrend des Trainings separat.<\/p>\n<h3>2. Lokale Minima- und Trainingsst\u00e4nde<\/h3>\n<p>Pinns k\u00f6nnen in schlechten lokalen Minima stecken bleiben. Das Netzwerk kann den Physikverlust befriedigen, w\u00e4hrend es eine falsche L\u00f6sung erzeugt, oder es kann Grenzdaten passen, w\u00e4hrend es innerhalb der Dom\u00e4ne ausf\u00e4llt.<\/p>\n<p>Beheben Sie dies mit dem Training auf dem Lehrplan. Beginnen Sie mit einer vereinfachten Version des Problems, z. B. einer station\u00e4ren Form oder einer einfacheren PDE, und erh\u00f6hen Sie dann allm\u00e4hlich die Komplexit\u00e4t. Sie k\u00f6nnen auch mit weniger Kollokationspunkten beginnen und die Abdeckung im Laufe der Zeit erh\u00f6hen.<\/p>\n<h3>3. Scharfe Steigungen und Diskontinuit\u00e4ten<\/h3>\n<p>Standardpinns k\u00e4mpfen h\u00e4ufig mit scharfen Steigungen, Diskontinuit\u00e4ten und Grenzschichten. Glatte Aktivierungsfunktionen k\u00f6nnen es schwierig machen, abrupte \u00c4nderungen darzustellen.<\/p>\n<p>Beheben Sie dies mit der adaptiven Verfeinerung des Kollokationspunkts. Konzentrieren Sie Punkte, an denen der Rest am gr\u00f6\u00dften ist. Sie k\u00f6nnen auch Formulierungen f\u00fcr harte Einschr\u00e4nkungen verwenden, die Randbedingungen genau einbetten, oder zusammengesetzte Pinns mit getrennten Netzwerken in verschiedenen Regionen.<\/p>\n<h3>4. \u00dcberbewusstsein ohne Garantien<\/h3>\n<p>Pinns k\u00f6nnen optisch plausible Ergebnisse erzeugen, die immer noch falsch sind. Ohne strenge Fehlergrenzen kann es schwierig sein zu wissen, wo die L\u00f6sung vertrauensw\u00fcrdig ist.<\/p>\n<p>Beheben Sie dies, indem Sie die Pinn-Vorhersagen nach M\u00f6glichkeit anhand bekannter Benchmarks validieren. Trainieren Sie mehrere Netzwerke mit unterschiedlichen Initialisierungen, um die Vorhersagevarianz abzusch\u00e4tzen. Pr\u00fcfen Sie bei einfachen Testf\u00e4llen gegen traditionelle L\u00f6ser, bevor Sie auf komplexe Probleme vertrauen.<\/p>\n<h2>Erste Schritte: Ein praktischer Workflow<\/h2>\n<p>Verwenden Sie den folgenden Workflow bei der Implementierung von Pinns in einem Forschungsprojekt.<\/p>\n<h3>Schritt 1: Definieren Sie das Problem formal<\/h3>\n<p>Schreiben Sie die PDE in Restform. Identifizieren Sie alle Parameter, Randbedingungen und Anfangsbedingungen. Kl\u00e4ren Sie, welche Daten Sie haben und was Sie entdecken m\u00f6chten.<\/p>\n<h3>Schritt 2: W\u00e4hlen Sie Ihr Framework<\/h3>\n<p>PyTorch wird in Pinn-Tutorials und Implementierungen h\u00e4ufig verwendet. Tensorflow ist auch \u00fcblich. Wenn Sie FIPY bereits f\u00fcr traditionelle Solver verwenden, k\u00f6nnen Sie Pinns auf Workflow-Ebene integrieren, indem Sie diese f\u00fcr inverse Probleme oder schnelle Exploration verwenden und dann die Ergebnisse mit FIPY \u00fcberpr\u00fcfen.<\/p>\n<h3>Schritt 3: Richten Sie die Netzwerkarchitektur ein<\/h3>\n<p>Starten Sie einfach: 2 bis 3 versteckte Schichten, 50 bis 100 Neuronen und <code>tanh<\/code>  Aktivierung. Sie k\u00f6nnen sp\u00e4ter verfeinern. \u00dcberentwickeln Sie die Architektur zu Beginn nicht, da die physikalischen Einschr\u00e4nkungen einen Gro\u00dfteil der Arbeit erledigen.<\/p>\n<h3>Schritt 4: Kollokationspunkte<\/h3>\n<p>Zeichnen Sie zuf\u00e4llige Punkte gleichm\u00e4\u00dfig innerhalb der Dom\u00e4ne. Je nach Problemkomplexit\u00e4t ben\u00f6tigen Sie m\u00f6glicherweise Hunderte oder Tausende von Punkten. Verwenden Sie bei Problemen mit mehreren Ma\u00dfst\u00e4ben konzentrierte Stichproben, wenn sich die L\u00f6sung am meisten \u00e4ndert.<\/p>\n<h3>Schritt 5: Implementieren Sie die Verlustfunktion<\/h3>\n<p>Erstellen Sie separate Datenverlust- und Physikverlustbedingungen. F\u00fcgen Sie Normalisierung hinzu, damit ihre Gr\u00f6\u00dfen vergleichbar sind. \u00dcberwachen Sie beide Verlustbedingungen w\u00e4hrend des Trainings.<\/p>\n<h3>Schritt 6: Trainieren und validieren<\/h3>\n<p>Trainieren Sie zuerst mit Adam, oft mit einer Lernrate in der N\u00e4he von <code>1e-3<\/code>  und wechseln Sie dann zur Feinabstimmung zu L-BFGs. Validieren Sie anhand von analytischen L\u00f6sungen oder traditionellen L\u00f6sern bei Benchmark-Problemen, bevor Sie das Modell auf neuartige Probleme anwenden.<\/p>\n<h2>Die Zukunft der Pinns im wissenschaftlichen Rechnen<\/h2>\n<p>Das Pinn-Feld entwickelt sich schnell. Mehrere Entwicklungen sind sehenswert.<\/p>\n<h3>Bedienerlernen<\/h3>\n<p>Anstatt eine einzige L\u00f6sung zu lernen, zielen die Operator-Lernmethoden darauf ab, das Mapping von Anfangsbedingungen und Parametern bis zu vollst\u00e4ndigen L\u00f6sungsfeldern zu lernen. Dies bedeutet, dass ein geschultes Modell eine Familie von Problemen und nicht einen festen Fall behandeln kann.<\/p>\n<h3>Physiknemo<\/h3>\n<p>NVIDIA hat sein Modul-Framework in Physicnemo umbenannt und ein breiteres Interesse der Industrie an physikinformierten KI-Tools in der Produktion signalisiert.<\/p>\n<h3>Dom\u00e4nenzerlegung<\/h3>\n<p>Die Erweiterung von Pinns auf sehr gro\u00dfe Probleme durch parallele Dom\u00e4nenzerlegung ist ein aktives Forschungsgebiet. Dies ist wichtig, um Pinns von akademischen Benchmarks zu echten wissenschaftlichen Simulations-Workloads zu bewegen.<\/p>\n<h3>Hybridans\u00e4tze<\/h3>\n<p>Hybrid-Workflows kombinieren Pinns mit herk\u00f6mmlichen Solvern. PINNs k\u00f6nnen eine schnelle Exploration oder inverse Probleml\u00f6sung unterst\u00fctzen, w\u00e4hrend verifizierte FVM- oder FEM-Solver eine endg\u00fcltige Validierung bieten.<\/p>\n<h2>Verwandte Anleitungen<\/h2>\n<p>F\u00fcr eine tiefere Berichterstattung \u00fcber verwandte Themen in Computational Science Workflows:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"\/machine-learning-surrogates-scientific-simulations\/\">Maschinenlern-Surrogate f\u00fcr wissenschaftliche Simulationen<\/a> \u2014 breitere Abdeckung der datengetriebenen Modellbeschleunigung, einschlie\u00dflich Gau\u00dfsche Prozesse, polynomiales Chaos, und Neuralnetz-Surrogaten.<\/li>\n<li><a href=\"\/validation-and-verification-for-pde-simulations-practical-framework\/\">Verifikation vs. Validierung in wissenschaftlichen Simulationen <\/a> &#8211; So validieren Sie Pinn-Vorhersagen gegen Benchmarks.<\/li>\n<li><a href=\"\/using-fipy-for-phase-field-modeling\/\"> Verwenden von FIPY f\u00fcr Phasenfeldmodellierung <\/a> &#8211; Wann werden herk\u00f6mmliche FVM-Methoden anstelle von Pinns f\u00fcr Phasenfeldprobleme verwendet?<\/li>\n<li><a href=\"\/performance-profiling-optimization-python-pde-solvers\/\">Performance-Profiling f\u00fcr Python-PDE-Solver<\/a> \u2013 Benchmarking von Pinns mit herk\u00f6mmlichen Solvern.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Ben\u00f6tigen Sie Hilfe bei der Implementierung von Pinns f\u00fcr Ihre Simulation?<\/h2>\n<p>Pinns sind leistungsstark, aber nicht trivial zu implementieren. Sie k\u00f6nnen n\u00fctzlich sein, wenn Sie daran arbeiten:<\/p>\n<ul>\n<li>Inverse Probleme mit versteckten physikalischen Parametern.<\/li>\n<li>Sp\u00e4rliche Datenmodellierung, bei der traditioneller ML \u00fcbergepasst w\u00fcrde.<\/li>\n<li>Schnelle Erforschung von Parameterr\u00e4umen, die f\u00fcr die direkte Simulation zu teuer sind.<\/li>\n<li>Integration von physikalischen Einschr\u00e4nkungen in vorhandene ML-Pipelines.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Unser Team kann bei der Erstellung von Physik-informierten Modellen helfen, die auf wissenschaftliche Workflows zugeschnitten sind, einschlie\u00dflich der Integration mit FIPY und anderen PDE-Solvern. <a href=\"\/category\/issue-tracking-tickets-technical-requests\/\">Kontaktieren Sie uns<\/a>, um die spezifischen Bed\u00fcrfnisse Ihres Projekts zu besprechen.<\/p>\n<h2>Referenzen<\/h2>\n<ol>\n<li>Raissi, M., Perdikaris, P., &amp; Karniadakis, G. E. (2019). Physikinformierte neuronale Netze: Ein Deep-Learning-Framework zur L\u00f6sung von vorw\u00e4rts und inversen Problemen, die nichtlineare partielle Differentialgleichungen betreffen. <em> Journal of Computational Physics <\/em>, 378, 724\u2013741.<\/li>\n<li>Karniadakis, G. E., Kevrekidis, I. G., Lu, L., et al. (2021). Physik-informiertes maschinelles Lernen. <em>Nature Reviews Physics <\/em>, 3 (6), 416\u2013428.<\/li>\n<li>Baty, H. (2024). Eine praktische Einf\u00fchrung in physikinformierte neuronale Netze zur L\u00f6sung von partiellen Differentialgleichungen. <em>Astronomisches Observatorium, Universit\u00e9 de Strasbourg <\/em>. arXiv: 2403.00599.<\/li>\n<li>Cuomo, D., et al. (2022). Ein umfassender \u00dcberblick \u00fcber das physikinformierte maschinelle Lernen f\u00fcr die Computermechanik. <em>Computer &amp; Strukturen <\/em>.<\/li>\n<li>Karniadakis, G. E., et al. (2021). Physik-informiertes maschinelles Lernen: ein R\u00fcckblick. <em>Nature Reviews Physik <\/em>.<\/li>\n<li>Wolf, T. (2024). Physikalisch informierte neuronale Netze: Ein einfaches Tutorial mit PyTorch. <em>medium<\/em>.<\/li>\n<li>Oxford Department of Informatik. (2025\u20132026). Physik informiert \u00fcber neuronale Netzwerke Kursmaterialien und Lehrplan.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false,"raw":"<h2>Schl\u00fcssel zum Mitnehmen<\/h2>\n<ul>\n<li>Physikinformierte neuronale Netzwerke betten physikalische Gesetze direkt in das Training des neuronalen Netzwerks ein. Sie k\u00f6nnen PDEs ohne traditionelle Netzgenerierung oder massive Datens\u00e4tze l\u00f6sen.<\/li>\n<li>Traditionelle ML-Surrogate ben\u00f6tigen oft viele Simulationsl\u00e4ufe, um zu trainieren. Pinns verwenden physikalische Gleichungen als Einschr\u00e4nkungen und k\u00f6nnen mit Grenzdaten oder sp\u00e4rlichen Messungen arbeiten.<\/li>\n<li>Ein Pinn gibt Vorhersagen aus, w\u00e4hrend der PDE-Residuum durch automatische Differenzierung minimiert wird. Wenn Vorhersagen gegen die ma\u00dfgebliche Physik versto\u00dfen, wird das Netzwerk w\u00e4hrend des Trainings bestraft.<\/li>\n<li>Pinns sind n\u00fctzlich f\u00fcr inverse Probleme, sp\u00e4rliche Datenregime, unregelm\u00e4\u00dfige Geometrien und F\u00e4lle, in denen die Erzeugung von Netzen schwierig ist.<\/li>\n<li>Pinns sind nicht ideal f\u00fcr einfache Probleme, bei denen traditionelle L\u00f6ser gut funktionieren oder wenn Sie strenge Fehler- und Konvergenzgarantien ben\u00f6tigen.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Sie versuchen, eine partielle Differentialgleichung zu l\u00f6sen. Es kann die W\u00e4rmediffusion in einer neuen Legierung, eine Fl\u00fcssigkeitsstr\u00f6mung um eine Turbinenschaufel oder eine Phasenfeldentwicklung in einer Batterieelektrode beschreiben.<\/p>\n<p>Traditionell w\u00fcrden Sie die Dom\u00e4ne in ein Netz diskretisieren, ein numerisches Schema einrichten, das resultierende System l\u00f6sen und hoffen, dass das Netz keine numerischen Probleme verursacht.<\/p>\n<p>Physikinformierte neuronale Netze bieten einen anderen Ansatz. Anstatt zuerst ein Mesh zu bauen, trainieren Sie ein neuronales Netzwerk, das die L\u00f6sung lernt und gleichzeitig durch die ma\u00dfgebliche physikalische Gleichung eingeschr\u00e4nkt wird.<\/p>\n<p>Seit ihrer Einf\u00fchrung durch Raissi, Perdikaris und Karniadakis haben sich Pinns von einer spezialisierten akademischen Idee zu einem wichtigen Werkzeug in der Computerwissenschaften entwickelt. Sie sind besonders n\u00fctzlich f\u00fcr Probleme, die sowohl f\u00fcr traditionelle numerische Methoden als auch f\u00fcr konventionelles maschinelles Lernen unangenehm sind.<\/p>\n<p>Diese Anleitung erkl\u00e4rt das Kernkonzept, wie Pinns funktionieren, wie man eine einfache Version in PyTorch implementiert, wo sie helfen und wo ihre Einschr\u00e4nkungen wichtig sind.<\/p>\n<h2>Die Kernidee: Lehren eines neuronalen Netzwerks Die Gesetze der Physik<\/h2>\n<p>Ein Standardmodell f\u00fcr maschinelles Lernen lernt, indem es den Fehler zwischen Vorhersagen und einem Trainingsdatensatz minimiert. Es ist meist datengesteuert. Sie geben Beispiele an, das Modell findet Muster und Sie hoffen, dass es verallgemeinert wird.<\/p>\n<p>Ein physikinformiertes neuronales Netzwerk verwendet einen anderen Ansatz. Es trainiert sowohl Daten als auch Physik.<\/p>\n<p>Das neuronale Netz sagt die L\u00f6sung einer PDE voraus. Die Verlustfunktion misst nicht nur, wie nahe die Vorhersage den verf\u00fcgbaren Daten ist, sondern auch, wie gut die Vorhersage die ma\u00dfgebliche Differentialgleichung erf\u00fcllt.<\/p>\n<p>Mit anderen Worten, das Netzwerk wird bestraft, wenn es gegen die Physik verst\u00f6\u00dft.<\/p>\n<p>Betrachten Sie eine in Restform geschriebene PDE:<\/p>\n<p>f(u, x, \u2202u\/\u2202x, \u2202\u00b2u\/\u2202x\u00b2, ...) = 0<\/p>\n<p>Hier ist <em>u <\/em> die L\u00f6sung, und die Ableitungen werden in Bezug auf die r\u00e4umlichen oder zeitlichen Koordinaten genommen. Ein Pinn baut eine Verlustfunktion mit zwei Hauptkomponenten auf:<\/p>\n<ol>\n<li>Datenverlust. Dies misst den mittleren quadratischen Fehler zwischen Netzwerkvorhersagen und verf\u00fcgbaren Daten wie Anfangsbedingungen, Randbedingungen oder sp\u00e4rlichen Messungen.<\/li>\n<li>Physikverlust. Dies misst den mittleren quadratischen PDE-Rest an Kollokationspunkten, die \u00fcber die Dom\u00e4ne abgetastet werden.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Das Modell optimiert beide Begriffe gleichzeitig. Es lernt Vorhersagen, die mit Daten und der ma\u00dfgeblichen Physik \u00fcbereinstimmen.<\/p>\n<h2>Wie Pinns tats\u00e4chlich funktionieren: Die Architektur<\/h2>\n<p>Die neuronale Netzwerkarchitektur f\u00fcr Pinns ist normalerweise ein mehrschichtiges Perzeptron.<\/p>\n<p>Die Eingabeschicht empf\u00e4ngt r\u00e4umliche Koordinaten wie <code>x<\/code>, <code>y<\/code> und <code>z<\/code> und m\u00f6glicherweise Zeit <code>t<\/code>. F\u00fcr ein 2D-Stadium-Problem k\u00f6nnen zwei Eing\u00e4nge vorhanden sein. Bei einem vor\u00fcbergehenden 1D-Problem sind die Eing\u00e4nge h\u00e4ufig <code>x<\/code>  und <code>t<\/code> .<\/p>\n<p>Die versteckten Schichten enthalten in der Regel 2 bis 5 Schichten mit je 50 bis 200 Neuronen. Die <code>tanh<\/code>-Aktivierungsfunktion wird h\u00e4ufig gegen\u00fcber Relu bevorzugt, da viele PDE-L\u00f6sungen glatt sind und glatte Aktivierungen durchgehende physikalische Felder besser darstellen k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Die Ausgabeschicht enth\u00e4lt ein Neuron pro Unbekannt. Beispielsweise kann es Temperatur, Konzentration, Druck oder Geschwindigkeit ausgeben. Multiphysische Probleme k\u00f6nnen mehrere Ausgangsneuronen mit einer kombinierten Verlustfunktion verwenden.<\/p>\n<p>Die automatische Differenzierung ist der Schl\u00fcsselmechanismus. Anstatt Ableitungen durch endliche Differenzen zu approximieren, berechnet die automatische Differenzierung Ableitungen der Netzwerkausgabe in Bezug auf ihre Eingaben. Auf diese Weise kann das Modell den PDE-Residuum direkt innerhalb der Verlustfunktion auswerten.<\/p>\n<h2>Die Verlustfunktion: zwei Begriffe, ein Ziel<\/h2>\n<p>Eine typische Pinn-Loss-Funktion sieht folgenderma\u00dfen aus:<\/p>\n<p>l_total = \u03bb_data \u00d7 l_data + \u03bb_physics \u00d7 l_physics<\/p>\n<p>Die Gewichtungsfaktoren gleichen die beiden Begriffe aus. Dieses Gleichgewicht ist wichtig. Wenn der Physikverlust zu stark dominiert, kann das Modell Datenbeschr\u00e4nkungen ignorieren. Wenn der Datenverlust dominiert, kann die physikalische Einschr\u00e4nkung zu schwach werden.<\/p>\n<p><code>L_data<\/code> misst Vorhersagefehler gegen verf\u00fcgbare Messungen, Anfangsbedingungen oder Randbedingungen.<\/p>\n<p><code>L_physics<\/code> misst den PDE-Residuum. Die Netzwerkvorhersage wird in die Differentialgleichung eingesteckt, quadratisch und \u00fcber Kollokationspunkte innerhalb der Dom\u00e4ne gemittelt.<\/p>\n<p>Die Schl\u00fcsselidee ist, dass das Modell kein festes Netz ben\u00f6tigt. Durch Probenahmestellen im gesamten Bereich lernt das Netzwerk, die PDE zu erf\u00fcllen, an der die Physik definiert ist. Es gibt keine Elementkonnektivit\u00e4t, Probleme mit der Netzqualit\u00e4t oder traditionelle Netzanforderungen.<\/p>\n<h2>Ein bearbeitetes Beispiel: L\u00f6sen der W\u00e4rmegleichung<\/h2>\n<p>Betrachten Sie die 1D-W\u00e4rmegleichung:<\/p>\n<p>\u2202U\/\u2202T = \u2202\u00b2U\/\u2202x\u00b2, mit U(x,0) = sin(\u03c0x)<\/p>\n<p>Dieses Problem hat eine bekannte analytische L\u00f6sung:<\/p>\n<p>U(x,t) = E<sup>-\u03c0\u00b2t<\/sup> \u00d7 sin(\u03c0x)<\/p>\n<p>Hier ist ein einfaches Pinn-Setup f\u00fcr dieses Problem in PyTorch:<\/p>\n<pre><code class=\"language-python\">import torch\nimport torch.nn as nn\n\nclass PINN(nn.Module):\n    def __init__(self):\n        super().__init__()\n        # Two hidden layers, 50 neurons each, tanh activation\n        self.fc1 = nn.Linear(2, 50)   # inputs: x, t\n        self.fc2 = nn.Linear(50, 50)\n        self.fc3 = nn.Linear(50, 1)   # output: u(x,t)\n        self.activation = torch.tanh\n        \n    def forward(self, x, t):\n        x = self.activation(self.fc1(torch.stack([x, t], dim=-1)))\n        x = self.activation(self.fc2(x))\n        return self.fc3(x).squeeze()\n\n# Create the network\nmodel = PINN()\n\n# Automatic differentiation for physics loss\nx = torch.tensor(x_data, requires_grad=True)\nt = torch.tensor(t_data, requires_grad=True)\n\nu = model(x, t)\nu_t = torch.autograd.grad(u.sum(), t, create_graph=True)[0]\nu_x = torch.autograd.grad(u.sum(), x, create_graph=True)[0]\nu_xx = torch.autograd.grad(u_x.sum(), x, create_graph=True)[0]\n\n# Physics loss: |\u2202u\/\u2202t - \u2202\u00b2u\/\u2202x\u00b2|\u00b2\nphysics_loss = torch.mean((u_t - u_xx)**2)\n\n# Data loss: boundary or initial conditions\ndata_loss = torch.mean((u - u_initial)**2)\n\n# Total loss\ntotal_loss = physics_loss + data_loss\n<\/code><\/pre>\n<p>W\u00e4hrend des Trainings wird das Netzwerk durch das automatische Differenzierungsdiagramm zur\u00fcckgedr\u00e4ngt. Es passt die Gewichte an, um sowohl den PDE-Rest als auch den Grenz- oder Anfangszustandsfehler zu minimieren.<\/p>\n<p>Nach dem Training kann das Modell die L\u00f6sung an jedem Punkt im Bereich bewerten, einschlie\u00dflich Punkte, die w\u00e4hrend des Trainings nicht direkt verwendet wurden.<\/p>\n<h2>Pinns vs. traditionelle ML-Surrogate<\/h2>\n<p>Pinns beziehen sich auf maschinelles Lernen, aber sie sind nicht gleich. Ein traditioneller Ersatz lernt aus vielen Input-Output-Beispielen, die durch Simulationen erstellt wurden. Ein Pinn lernt durch die Durchsetzung von Gleichungen w\u00e4hrend des Trainings.<\/p>\n<table class=\"custom-table\">\n<tbody><tr>\n<th>Aspekt<\/th>\n<th>Traditionelle ML Ersatz<\/th>\n<th>Physikinformiertes neuronales Netzwerk<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Trainingsdaten<\/td>\n<td>Normalerweise sind viele Simulationsl\u00e4ufe erforderlich<\/td>\n<td>Kann mit Randbedingungen und sp\u00e4rlichen Daten arbeiten<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Physik-Integration<\/td>\n<td>Lernt Muster aus Daten<\/td>\n<td>Verwendet Physik als Verlustbeschr\u00e4nkung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Netzgenerierung<\/td>\n<td>Vom Modell selbst nicht erforderlich<\/td>\n<td>Nicht erforderlich<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Inverse Probleme<\/td>\n<td>schwierig ohne beschriftete Parameterdaten<\/td>\n<td>Nat\u00fcrlich, weil unbekannte Parameter trainierbare Variablen sein k\u00f6nnen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Datenregime<\/td>\n<td>Funktioniert am besten mit reichlich Daten<\/td>\n<td>Kann gut mit sp\u00e4rlichen oder ohne Innendaten funktionieren<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Mathematische Garantien<\/td>\n<td>Normalerweise statistisch<\/td>\n<td>Begrenzte strenge Garantien<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Rechenkosten bei Inferenz<\/td>\n<td>Nahezu sofort<\/td>\n<td>Nahezu sofort<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Ausbildungskosten<\/td>\n<td>Moderate, aber Datengenerierung kann teuer sein<\/td>\n<td>Oft hoch, da Optimierung viele Iterationen erfordern kann<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody><\/table>\n<p>Die grundlegende Unterscheidung ist folgender: Ein traditioneller Ersatz lernt durch viele Beispiele eine Zuordnung von Inputs zu Outputs. Ein Pinn lernt eine L\u00f6sung, die durch die ma\u00dfgeblichen Gleichungen eingeschr\u00e4nkt wird. Sie ben\u00f6tigen nicht Tausende von Simulationsl\u00e4ufen, wenn Sie die Physik und Randbedingungen bereits kennen.<\/p>\n<h2>Wann Sie Pinns verwenden: Die Entscheidungsmatrix<\/h2>\n<p>Pinns sind kein universeller Ersatz f\u00fcr herk\u00f6mmliche Solver. Sie sind in bestimmten Szenarien n\u00fctzlich.<\/p>\n<h3>Wenn Pinns stark passen<\/h3>\n<ul>\n<li>umgekehrte Probleme. Pinns k\u00f6nnen dabei helfen, unbekannte Parameter wie Leitf\u00e4higkeit, Diffusivit\u00e4t oder Reaktionsraten aus sp\u00e4rlichen Beobachtungen zu entdecken.<\/li>\n<li>Hochdimensionale Parameterr\u00e4ume. PINNs k\u00f6nnen Parameter als Netzwerkeingaben behandeln und \u00fcber Parameterbereiche hinweg lernen.<\/li>\n<li>unregelm\u00e4\u00dfige oder komplexe Geometrien. Da keine Mesh-Generierung erforderlich ist, k\u00f6nnen Sie Punkte in der Dom\u00e4ne abtasten und das Netzwerk von der Kollokationspunktverteilung lernen lassen.<\/li>\n<li>sp\u00e4rliche Datenregime. Physikalische Einschr\u00e4nkungen wirken als Regularisierung, wenn Daten allein nicht ausreichen w\u00fcrden.<\/li>\n<li>Multi-Fidelity-Probleme. Pinns k\u00f6nnen Informationen mit geringerer und h\u00f6herer Genauigkeit durch gewichtete Verlustbedingungen kombinieren.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Wann man Pinns meidet<\/h3>\n<ul>\n<li>Einfache Probleme, bei denen traditionelle L\u00f6ser bereits gut funktionieren. Wenn ein Standardl\u00f6ser schnell und genau zusammenl\u00e4uft, kann ein Pinn unn\u00f6tige Komplexit\u00e4t verursachen.<\/li>\n<li>Probleme, die beweisbare Fehlergrenzen erfordern. Pinns haben noch nicht die gleiche Konvergenztheorie wie reife Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Methoden.<\/li>\n<li>Hochgenaue Anforderungen in der N\u00e4he von Singularit\u00e4ten. Standardpinns k\u00f6nnen mit scharfen Gradienten, Diskontinuit\u00e4ten und Grenzschichten k\u00e4mpfen.<\/li>\n<li>F\u00e4lle, in denen Sie bereits einen validierten, optimierten Solver haben. Wenn Ihr vorhandener FVM- oder FEM-Solver schnell und genau ist, hilft es m\u00f6glicherweise nicht, ihn zu ersetzen.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Echte wissenschaftliche Anwendungen<\/h2>\n<p>Pinns wurden in vielen wissenschaftlichen Bereichen angewendet.<\/p>\n<p>In der Plasmaphysik und Astrophysik wurden Pinns verwendet, um Grad-Shafranov-Gleichungen f\u00fcr magnetische Gleichgewichte und Spur-Emden-Gleichungen f\u00fcr die Sternstruktur zu l\u00f6sen. Diese Probleme k\u00f6nnen gemischte Randbedingungen beinhalten, die f\u00fcr einige traditionelle Solver herausfordernd sind.<\/p>\n<p>In der Fluiddynamik wurden Pinns verwendet, um volle Geschwindigkeitsfelder aus sp\u00e4rlichen Messdaten zu schlie\u00dfen, indem Navier-Stokes-Gleichungen als Einschr\u00e4nkungen erzwungen werden.<\/p>\n<p>In der biomedizinischen Bildgebung wurden physikinformierte Modelle verwendet, um Flussdaten zu filtern und zu rekonstruieren unter Einhaltung der Massenerhaltung und Impulsgleichungen.<\/p>\n<p>In der Elektrochemie werden Pinns f\u00fcr gekoppelte Diffusionsreaktionssysteme untersucht, einschlie\u00dflich Batterieelektrodenmodellierung, bei denen keine analytischen L\u00f6sungen verf\u00fcgbar sind.<\/p>\n<h2>H\u00e4ufige Fallstricke und wie man sie vermeidet<\/h2>\n<h3>1. Verlustungleichgewicht<\/h3>\n<p>Das h\u00e4ufigste Trainingsversagen ist ein Verlust, der einen anderen dominiert. Der Physikverlust kann viel gr\u00f6\u00dfer sein als der Datenverlust, oder das Gegenteil kann passieren. In diesem Fall kann das Modell eine Einschr\u00e4nkung vollst\u00e4ndig ignorieren.<\/p>\n<p>Beheben Sie dies, indem Sie beide Verlustbedingungen normalisieren. Verwenden Sie adaptive Gewichtungsschemata, die <code>\u03bb_data<\/code> und <code>\u03bb_physics<\/code> basierend auf der relativen Gr\u00f6\u00dfe jedes Terms anpassen. \u00dcberwachen Sie beide Verluste w\u00e4hrend des Trainings separat.<\/p>\n<h3>2. Lokale Minima- und Trainingsst\u00e4nde<\/h3>\n<p>Pinns k\u00f6nnen in schlechten lokalen Minima stecken bleiben. Das Netzwerk kann den Physikverlust befriedigen, w\u00e4hrend es eine falsche L\u00f6sung erzeugt, oder es kann Grenzdaten passen, w\u00e4hrend es innerhalb der Dom\u00e4ne ausf\u00e4llt.<\/p>\n<p>Beheben Sie dies mit dem Training auf dem Lehrplan. Beginnen Sie mit einer vereinfachten Version des Problems, z. B. einer station\u00e4ren Form oder einer einfacheren PDE, und erh\u00f6hen Sie dann allm\u00e4hlich die Komplexit\u00e4t. Sie k\u00f6nnen auch mit weniger Kollokationspunkten beginnen und die Abdeckung im Laufe der Zeit erh\u00f6hen.<\/p>\n<h3>3. Scharfe Steigungen und Diskontinuit\u00e4ten<\/h3>\n<p>Standardpinns k\u00e4mpfen h\u00e4ufig mit scharfen Steigungen, Diskontinuit\u00e4ten und Grenzschichten. Glatte Aktivierungsfunktionen k\u00f6nnen es schwierig machen, abrupte \u00c4nderungen darzustellen.<\/p>\n<p>Beheben Sie dies mit der adaptiven Verfeinerung des Kollokationspunkts. Konzentrieren Sie Punkte, an denen der Rest am gr\u00f6\u00dften ist. Sie k\u00f6nnen auch Formulierungen f\u00fcr harte Einschr\u00e4nkungen verwenden, die Randbedingungen genau einbetten, oder zusammengesetzte Pinns mit getrennten Netzwerken in verschiedenen Regionen.<\/p>\n<h3>4. \u00dcberbewusstsein ohne Garantien<\/h3>\n<p>Pinns k\u00f6nnen optisch plausible Ergebnisse erzeugen, die immer noch falsch sind. Ohne strenge Fehlergrenzen kann es schwierig sein zu wissen, wo die L\u00f6sung vertrauensw\u00fcrdig ist.<\/p>\n<p>Beheben Sie dies, indem Sie die Pinn-Vorhersagen nach M\u00f6glichkeit anhand bekannter Benchmarks validieren. Trainieren Sie mehrere Netzwerke mit unterschiedlichen Initialisierungen, um die Vorhersagevarianz abzusch\u00e4tzen. Pr\u00fcfen Sie bei einfachen Testf\u00e4llen gegen traditionelle L\u00f6ser, bevor Sie auf komplexe Probleme vertrauen.<\/p>\n<h2>Erste Schritte: Ein praktischer Workflow<\/h2>\n<p>Verwenden Sie den folgenden Workflow bei der Implementierung von Pinns in einem Forschungsprojekt.<\/p>\n<h3>Schritt 1: Definieren Sie das Problem formal<\/h3>\n<p>Schreiben Sie die PDE in Restform. Identifizieren Sie alle Parameter, Randbedingungen und Anfangsbedingungen. Kl\u00e4ren Sie, welche Daten Sie haben und was Sie entdecken m\u00f6chten.<\/p>\n<h3>Schritt 2: W\u00e4hlen Sie Ihr Framework<\/h3>\n<p>PyTorch wird in Pinn-Tutorials und Implementierungen h\u00e4ufig verwendet. Tensorflow ist auch \u00fcblich. Wenn Sie FIPY bereits f\u00fcr traditionelle Solver verwenden, k\u00f6nnen Sie Pinns auf Workflow-Ebene integrieren, indem Sie diese f\u00fcr inverse Probleme oder schnelle Exploration verwenden und dann die Ergebnisse mit FIPY \u00fcberpr\u00fcfen.<\/p>\n<h3>Schritt 3: Richten Sie die Netzwerkarchitektur ein<\/h3>\n<p>Starten Sie einfach: 2 bis 3 versteckte Schichten, 50 bis 100 Neuronen und <code>tanh<\/code>  Aktivierung. Sie k\u00f6nnen sp\u00e4ter verfeinern. \u00dcberentwickeln Sie die Architektur zu Beginn nicht, da die physikalischen Einschr\u00e4nkungen einen Gro\u00dfteil der Arbeit erledigen.<\/p>\n<h3>Schritt 4: Kollokationspunkte<\/h3>\n<p>Zeichnen Sie zuf\u00e4llige Punkte gleichm\u00e4\u00dfig innerhalb der Dom\u00e4ne. Je nach Problemkomplexit\u00e4t ben\u00f6tigen Sie m\u00f6glicherweise Hunderte oder Tausende von Punkten. Verwenden Sie bei Problemen mit mehreren Ma\u00dfst\u00e4ben konzentrierte Stichproben, wenn sich die L\u00f6sung am meisten \u00e4ndert.<\/p>\n<h3>Schritt 5: Implementieren Sie die Verlustfunktion<\/h3>\n<p>Erstellen Sie separate Datenverlust- und Physikverlustbedingungen. F\u00fcgen Sie Normalisierung hinzu, damit ihre Gr\u00f6\u00dfen vergleichbar sind. \u00dcberwachen Sie beide Verlustbedingungen w\u00e4hrend des Trainings.<\/p>\n<h3>Schritt 6: Trainieren und validieren<\/h3>\n<p>Trainieren Sie zuerst mit Adam, oft mit einer Lernrate in der N\u00e4he von <code>1e-3<\/code>  und wechseln Sie dann zur Feinabstimmung zu L-BFGs. Validieren Sie anhand von analytischen L\u00f6sungen oder traditionellen L\u00f6sern bei Benchmark-Problemen, bevor Sie das Modell auf neuartige Probleme anwenden.<\/p>\n<h2>Die Zukunft der Pinns im wissenschaftlichen Rechnen<\/h2>\n<p>Das Pinn-Feld entwickelt sich schnell. Mehrere Entwicklungen sind sehenswert.<\/p>\n<h3>Bedienerlernen<\/h3>\n<p>Anstatt eine einzige L\u00f6sung zu lernen, zielen die Operator-Lernmethoden darauf ab, das Mapping von Anfangsbedingungen und Parametern bis zu vollst\u00e4ndigen L\u00f6sungsfeldern zu lernen. Dies bedeutet, dass ein geschultes Modell eine Familie von Problemen und nicht einen festen Fall behandeln kann.<\/p>\n<h3>Physiknemo<\/h3>\n<p>NVIDIA hat sein Modul-Framework in Physicnemo umbenannt und ein breiteres Interesse der Industrie an physikinformierten KI-Tools in der Produktion signalisiert.<\/p>\n<h3>Dom\u00e4nenzerlegung<\/h3>\n<p>Die Erweiterung von Pinns auf sehr gro\u00dfe Probleme durch parallele Dom\u00e4nenzerlegung ist ein aktives Forschungsgebiet. Dies ist wichtig, um Pinns von akademischen Benchmarks zu echten wissenschaftlichen Simulations-Workloads zu bewegen.<\/p>\n<h3>Hybridans\u00e4tze<\/h3>\n<p>Hybrid-Workflows kombinieren Pinns mit herk\u00f6mmlichen Solvern. PINNs k\u00f6nnen eine schnelle Exploration oder inverse Probleml\u00f6sung unterst\u00fctzen, w\u00e4hrend verifizierte FVM- oder FEM-Solver eine endg\u00fcltige Validierung bieten.<\/p>\n<h2>Verwandte Anleitungen<\/h2>\n<p>F\u00fcr eine tiefere Berichterstattung \u00fcber verwandte Themen in Computational Science Workflows:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"\/machine-learning-surrogates-scientific-simulations\/\">Maschinenlern-Surrogate f\u00fcr wissenschaftliche Simulationen<\/a> \u2014 breitere Abdeckung der datengetriebenen Modellbeschleunigung, einschlie\u00dflich Gau\u00dfsche Prozesse, polynomiales Chaos, und Neuralnetz-Surrogaten.<\/li>\n<li><a href=\"\/validation-and-verification-for-pde-simulations-practical-framework\/\">Verifikation vs. Validierung in wissenschaftlichen Simulationen <\/a> - So validieren Sie Pinn-Vorhersagen gegen Benchmarks.<\/li>\n<li><a href=\"\/using-fipy-for-phase-field-modeling\/\"> Verwenden von FIPY f\u00fcr Phasenfeldmodellierung <\/a> - Wann werden herk\u00f6mmliche FVM-Methoden anstelle von Pinns f\u00fcr Phasenfeldprobleme verwendet?<\/li>\n<li><a href=\"\/performance-profiling-optimization-python-pde-solvers\/\">Performance-Profiling f\u00fcr Python-PDE-Solver<\/a> \u2013 Benchmarking von Pinns mit herk\u00f6mmlichen Solvern.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Ben\u00f6tigen Sie Hilfe bei der Implementierung von Pinns f\u00fcr Ihre Simulation?<\/h2>\n<p>Pinns sind leistungsstark, aber nicht trivial zu implementieren. Sie k\u00f6nnen n\u00fctzlich sein, wenn Sie daran arbeiten:<\/p>\n<ul>\n<li>Inverse Probleme mit versteckten physikalischen Parametern.<\/li>\n<li>Sp\u00e4rliche Datenmodellierung, bei der traditioneller ML \u00fcbergepasst w\u00fcrde.<\/li>\n<li>Schnelle Erforschung von Parameterr\u00e4umen, die f\u00fcr die direkte Simulation zu teuer sind.<\/li>\n<li>Integration von physikalischen Einschr\u00e4nkungen in vorhandene ML-Pipelines.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Unser Team kann bei der Erstellung von Physik-informierten Modellen helfen, die auf wissenschaftliche Workflows zugeschnitten sind, einschlie\u00dflich der Integration mit FIPY und anderen PDE-Solvern. <a href=\"\/category\/issue-tracking-tickets-technical-requests\/\">Kontaktieren Sie uns<\/a>, um die spezifischen Bed\u00fcrfnisse Ihres Projekts zu besprechen.<\/p>\n<h2>Referenzen<\/h2>\n<ol>\n<li>Raissi, M., Perdikaris, P., &amp; Karniadakis, G. E. (2019). Physikinformierte neuronale Netze: Ein Deep-Learning-Framework zur L\u00f6sung von vorw\u00e4rts und inversen Problemen, die nichtlineare partielle Differentialgleichungen betreffen. <em> Journal of Computational Physics <\/em>, 378, 724\u2013741.<\/li>\n<li>Karniadakis, G. E., Kevrekidis, I. G., Lu, L., et al. (2021). Physik-informiertes maschinelles Lernen. <em>Nature Reviews Physics <\/em>, 3 (6), 416\u2013428.<\/li>\n<li>Baty, H. (2024). Eine praktische Einf\u00fchrung in physikinformierte neuronale Netze zur L\u00f6sung von partiellen Differentialgleichungen. <em>Astronomisches Observatorium, Universit\u00e9 de Strasbourg <\/em>. arXiv: 2403.00599.<\/li>\n<li>Cuomo, D., et al. (2022). Ein umfassender \u00dcberblick \u00fcber das physikinformierte maschinelle Lernen f\u00fcr die Computermechanik. <em>Computer &amp; Strukturen <\/em>.<\/li>\n<li>Karniadakis, G. E., et al. (2021). Physik-informiertes maschinelles Lernen: ein R\u00fcckblick. <em>Nature Reviews Physik <\/em>.<\/li>\n<li>Wolf, T. (2024). Physikalisch informierte neuronale Netze: Ein einfaches Tutorial mit PyTorch. <em>medium<\/em>.<\/li>\n<li>Oxford Department of Informatik. (2025\u20132026). Physik informiert \u00fcber neuronale Netzwerke Kursmaterialien und Lehrplan.<\/li>\n<\/ol>\n"},"excerpt":{"rendered":"<p><span class=\"span-reading-time rt-reading-time\" style=\"display: block;\"><span class=\"rt-label rt-prefix\">Reading Time: <\/span> <span class=\"rt-time\"> 9<\/span> <span class=\"rt-label rt-postfix\">minutes<\/span><\/span>Schl\u00fcssel zum Mitnehmen Physikinformierte neuronale Netzwerke betten physikalische Gesetze direkt in das Training des neuronalen Netzwerks ein. Sie k\u00f6nnen PDEs ohne traditionelle Netzgenerierung oder massive Datens\u00e4tze l\u00f6sen. Traditionelle ML-Surrogate ben\u00f6tigen oft viele Simulationsl\u00e4ufe, um zu trainieren. Pinns verwenden physikalische Gleichungen als Einschr\u00e4nkungen und k\u00f6nnen mit Grenzdaten oder sp\u00e4rlichen Messungen arbeiten. Ein Pinn gibt Vorhersagen aus, [&hellip;]<\/p>\n","protected":false,"raw":""},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_locale":"de_DE","_original_post":"https:\/\/matforge.org\/?p=340","iawp_total_views":0,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[15,13,14,16],"class_list":["post-852","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-simulation-modeling-projects","tag-deep-learning","tag-neural-networks","tag-pde-solvers","tag-scientific-python","de-DE"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v28.1 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Physikinformierte neuronale Netze f\u00fcr Simulationen<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Erfahren Sie, wie physikinformierte neuronale Netze PDs l\u00f6sen, inverse Probleme unterst\u00fctzen, den Datenbedarf reduzieren und mit herk\u00f6mmlichen ML-Surrogaten 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