{"id":903,"date":"2026-07-30T12:23:17","date_gmt":"2026-07-30T12:23:17","guid":{"rendered":"https:\/\/matforge.org\/?p=903","raw":"https:\/\/matforge.org\/?p=903"},"modified":"2026-07-30T12:23:17","modified_gmt":"2026-07-30T12:23:17","slug":"uncertainty-quantification-sensitivity-analysis-scientific-simulation","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matforge.org\/de\/uncertainty-quantification-sensitivity-analysis-scientific-simulation\/","title":{"rendered":"Unsicherheitsquantifizierung und Sensitivit\u00e4tsanalyse in wissenschaftlicher Simulation","raw":"Unsicherheitsquantifizierung und Sensitivit\u00e4tsanalyse in wissenschaftlicher Simulation"},"content":{"rendered":"<span class=\"span-reading-time rt-reading-time\" style=\"display: block;\"><span class=\"rt-label rt-prefix\">Reading Time: <\/span> <span class=\"rt-time\"> 10<\/span> <span class=\"rt-label rt-postfix\">minutes<\/span><\/span><article>\n<p>Eine wissenschaftliche Simulation erh\u00e4lt selten vollkommen bekannte Eingaben. Materialeigenschaften stammen aus Messungen mit Fehlerbalken. Die Randbedingungen variieren zwischen den Experimenten. Anfangszust\u00e4nde k\u00f6nnen nur teilweise beobachtet werden. Numerische Modelle vereinfachen auch physikalische Prozesse, die nicht detailliert dargestellt werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Die auf UQ verk\u00fcrzte Unsicherheitsquantifizierung untersucht, wie diese Unsicherheiten die Simulationsvorhersagen beeinflussen. Die Sensitivit\u00e4tsanalyse fragt, welche unsicheren Eingaben f\u00fcr die beobachteten \u00c4nderungen der Ausgabe verantwortlich sind.<\/p>\n<p>Die beiden Disziplinen unterst\u00fctzen unterschiedliche Entscheidungen. UQ kann zeigen, dass eine vorhergesagte Spitzentemperatur innerhalb eines breiten Intervalls liegt. Die Sensitivit\u00e4tsanalyse kann ergeben, dass der gr\u00f6\u00dfte Teil dieses Intervalls durch Unsicherheit der W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit und nicht durch W\u00e4rmekapazit\u00e4t oder Grenztemperatur verursacht wird.<\/p>\n<p>Zusammen helfen sie den Forschern dabei, glaubw\u00fcrdige Vorhersageintervalle zu melden, neue Messungen zu priorisieren, Modelle zu vereinfachen und effizientere Simulationskampagnen zu entwerfen.<\/p>\n<h2>Was ist Unsicherheitsquantifizierung?<\/h2>\n<p>Betrachten Sie ein Computermodell:<\/p>\n<pre><code>Y = M(X)<\/code><\/pre>\n<p>Der Vektor <code>X<\/code> enth\u00e4lt unsichere Eingaben, w\u00e4hrend <code>Y<\/code> eine vorhergesagte interessierende Gr\u00f6\u00dfe ist. Beispiele f\u00fcr <code>Y<\/code> umfassen maximale Spannung, Reaktionsausbeute, Temperatur, Rissl\u00e4nge, Wellenankunftszeit oder Druckabfall.<\/p>\n<p>UQ ordnet den unsicheren Eingaben mathematische Beschreibungen zu und verbreitet sie \u00fcber das Modell. Das Ergebnis kann sein:<\/p>\n<ul>\n<li>Erwarteter Wert<\/li>\n<li>Varianz und Standardabweichung<\/li>\n<li>Quantils<\/li>\n<li>Vorhersage oder glaubw\u00fcrdige Intervalle<\/li>\n<li>Wahrscheinlichkeit, eine Sicherheitsschwelle zu \u00fcberschreiten<\/li>\n<li>Vollst\u00e4ndige Ausgabewahrscheinlichkeitsverteilungen<\/li>\n<\/ul>\n<p>UQ beweist nicht automatisch, dass ein Modell korrekt ist. Es beschreibt die Konsequenzen bestimmter Unsicherheitsannahmen. Falsche Verteilungen, fehlende Unsicherheitsquellen oder ein ung\u00fcltiges physikalisches Modell k\u00f6nnen immer noch irref\u00fchrende Intervalle erzeugen.<\/p>\n<h2>Was ist Sensitivit\u00e4tsanalyse?<\/h2>\n<p>Die Sensitivit\u00e4tsanalyse misst, wie sich \u00c4nderungen der Modelleingaben auf eine Ausgabe auswirken. Es kann Fragen beantworten wie:<\/p>\n<ul>\n<li>Welche Parameter tragen am meisten zur Ausgangsvarianz bei?<\/li>\n<li>Welche Eing\u00e4nge haben fast keine Wirkung?<\/li>\n<li>Sind Interaktionen zwischen Parametern wichtig?<\/li>\n<li>Welche Messung sollte zuerst verbessert werden?<\/li>\n<li>Kann das Modell reduziert werden, ohne seine Vorhersagen zu \u00e4ndern?<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ein Parameter kann einen gro\u00dfen Unsicherheitsbereich haben, aber nur einen geringen Einfluss auf die Ausgabe. Ein anderer Parameter kann ziemlich genau bekannt sein, hat aber einen starken physikalischen Einfluss. Die Empfindlichkeit h\u00e4ngt sowohl von der Modellantwort als auch von der angenommenen Eingabeunsicherheit ab.<\/p>\n<h2>UQ im VVUQ-Framework<\/h2>\n<p>Verifizierung, Validierung und Unsicherheitsquantifizierung bilden einen Rahmen f\u00fcr verbundene Glaubw\u00fcrdigkeit:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Verifikation:<\/strong> Sind die Gleichungen korrekt implementiert und gel\u00f6st?<\/li>\n<li><strong>Validierung:<\/strong> Repr\u00e4sentiert das Modell das reale System angemessen f\u00fcr den beabsichtigten Gebrauch?<\/li>\n<li><strong>Unsicherheitsquantifizierung:<\/strong> Wie wirken sich unsichere Eingaben, Modellannahmen und andere Unsicherheitsquellen auf Vorhersagen aus?<\/li>\n<\/ol>\n<p>Die Sensitivit\u00e4tsanalyse unterst\u00fctzt dieses Framework, indem die Annahmen und Parameter die in einer Entscheidung verwendeten Gr\u00f6\u00dfen am st\u00e4rksten beeinflussen.<\/p>\n<p>Die <a href=\"https:\/\/www.asme.org\/codes-standards\/publications-information\/verification-validation-uncertainty\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">ASME VVUQ Standards Portfolio <\/a> bietet dom\u00e4nenspezifische Leitlinien zur Bewertung der Glaubw\u00fcrdigkeit von Rechenmodellen. Der zugeh\u00f6rige Matforge-Leitfaden zu <a href=\"https:\/\/matforge.org\/verification-vs-validation-in-scientific-simulations-a-practical-guide\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Verifikation und Validierung in wissenschaftlichen Simulationen <\/a> erkl\u00e4rt den umfassenderen Prozess.<\/p>\n<h2>Quellen der Unsicherheit<\/h2>\n<p>Eine n\u00fctzliche UQ-Studie beginnt mit einem Unsicherheitsinventar. Die Forscher sollten feststellen, wo die Unsicherheit in das Modell eindringt, bevor sie eine numerische Methode ausw\u00e4hlen.<\/p>\n<h3>aleatorische Unsicherheit<\/h3>\n<p>Aleatorische Unsicherheit stellt eine inh\u00e4rente Variabilit\u00e4t in einer Population oder einem Prozess dar. Beispiele sind Variationen der Korngr\u00f6\u00dfen, zuf\u00e4lliger Beladung, Herstellungstoleranzen oder Umgebungsbedingungen.<\/p>\n<p>Diese Variabilit\u00e4t wird nicht durch genaueres Messen einer Probe entfernt. Es wird h\u00e4ufig mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen dargestellt, die aus wiederholten Beobachtungen gesch\u00e4tzt werden.<\/p>\n<h3>epistemische Unsicherheit<\/h3>\n<p>Die epistemische Unsicherheit stellt unvollst\u00e4ndiges Wissen dar. Beispiele sind schlecht gemessene Parameter, unbekannte Randbedingungen, begrenzte experimentelle Daten oder ein unsicheres konstitutives Gesetz.<\/p>\n<p>Es kann durch neue Experimente, verbesserte Sensoren, zus\u00e4tzliche Theorie oder ein detaillierteres Modell reduziert werden. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung kann verwendet werden, wenn gen\u00fcgend Informationen vorhanden sind, Intervalle, Ensembles, Wahrscheinlichkeitsfelder oder andere ungenaue Darstellungen k\u00f6nnen jedoch vertretbarer sein, wenn die Daten schwach sind.<\/p>\n<h3>Modellformunsicherheit<\/h3>\n<p>Modellformunsicherheit entsteht, weil die Gleichungen reale physikalische Prozesse weglassen oder vereinfachen. Ein Turbulenzverschluss, Reaktionsmechanismus, Kontaktgesetz oder konstitutives Modell mit reduzierter Ordnung k\u00f6nnen auch dann unvollkommen bleiben, wenn seine Parameter bekannt sind.<\/p>\n<p>Die Eingangsausbreitung allein erfasst nicht die Unsicherheit der Modellform. Forscher ben\u00f6tigen m\u00f6glicherweise mehrere Modellformen, Diskrepanzbegriffe, Validierungsdaten oder Expertenurteil.<\/p>\n<h3>Numerische Unsicherheit<\/h3>\n<p>Diskretisierung, iterative Toleranzen, Ersatzfehler und Stichprobenfehler wirken sich ebenfalls auf die gemeldeten Vorhersagen aus. Diese sollten nicht lautlos mit der Unsicherheit des physikalischen Parameters gemischt werden.<\/p>\n<p>Mesh- und Zeitschrittkonvergenz sollte normalerweise vor einer gro\u00dfen UQ-Kampagne hergestellt werden. Andernfalls kann die Studie unsichere Eingaben durch eine nicht konvergierte L\u00f6sung propagieren.<\/p>\n<p>Die <a href=\"https:\/\/www.nationalacademies.org\/read\/13395\/chapter\/9\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Nationale Akademien Diskussion \u00fcber die Quantifizierung der Unsicherheit<\/a> betont die Identifizierung und Charakterisierung von Unsicherheitsquellen als Teil einer glaubw\u00fcrdigen Rechenvorhersage.<\/p>\n<h2>Ein allgemeiner UQ-Workflow<\/h2>\n<ol>\n<li>Definieren Sie die Vorhersage oder Entscheidungsmenge.<\/li>\n<li>\u00dcberpr\u00fcfen Sie die rechnerische Implementierung.<\/li>\n<li>numerische Konvergenz beurteilen.<\/li>\n<li>Listen Sie unsichere Parameter, Grenzdaten und Modellannahmen auf.<\/li>\n<li>getrennte aleatorische, epistemische, Modellform und numerische Unsicherheit, sofern m\u00f6glich.<\/li>\n<li>Weisen Sie gerechtfertigte Bereiche, Verteilungen oder Grenzen zu.<\/li>\n<li>W\u00e4hlen Sie eine Stichproben- oder Ersatzmethode aus.<\/li>\n<li>F\u00fchren Sie die Computerkampagne aus.<\/li>\n<li>Sch\u00e4tzen Sie die Output-Statistiken und Sensitivit\u00e4tsma\u00dfe.<\/li>\n<li>Validieren Sie den Ersatz und \u00fcberpr\u00fcfen Sie die Konvergenz der UQ-Sch\u00e4tzungen.<\/li>\n<li>Vermutungen, Fehler und Einschr\u00e4nkungen melden.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Monte Carlo und Quasi-Monte Carlo<\/h2>\n<p>Die Ausbreitung von Monte-Carlo ist die allgemeine Grundlinie. Aus der gemeinsamen Eingabeverteilung werden Stichproben gezogen, die Simulation f\u00fcr jede Probe ausgewertet und die Ausgabestatistik aus dem resultierenden Ensemble gesch\u00e4tzt.<\/p>\n<p>Sein Hauptvorteil ist die Flexibilit\u00e4t. Es erfordert nicht, dass die Antwort glatt oder polynomartig ist. Es kann auf diskontinuierliche Ausgaben, Schwellenereignisse und komplexe Black-Box-Modelle angewendet werden.<\/p>\n<p>Seine Hauptbeschr\u00e4nkung ist die langsame statistische Konvergenz. Der Standardfehler einer gew\u00f6hnlichen Monte-Carlo-Sch\u00e4tzung nimmt typischerweise proportional ab zu:<\/p>\n<pre><code>N^(-1\/2)<\/code><\/pre>\n<p>Quasi-Monte Carlo verwendet Sequenzen mit geringer Diskrepanz, um den Parameterraum gleichm\u00e4\u00dfiger abzudecken. Randomisierte Quasi-Monte-Carlo kann auch Unsicherheitssch\u00e4tzungen unterst\u00fctzen und gleichzeitig die praktische Konvergenz f\u00fcr ausreichend regelm\u00e4\u00dfige Integranden verbessern.<\/p>\n<p>Stichprobenstrategien wie Monte-Carlo, lateinische Hyperw\u00fcrfel-Stichproben, SOBOL-Sequenzen und randomisierte QMC werden in der <a href=\"https:\/\/matforge.org\/monte-carlo-methods-for-scientific-simulations\/\" behandelt.=\"\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\"> monte carlo-Methodenhandbuch <\/a>.<\/p>\n<h2>Erweiterung des Polynom-Chaos<\/h2>\n<p>Polynom-Chaos-Erweiterung n\u00e4hert sich der Modellausgabe als Summe von orthogonalen Polynomen der unsicheren Eingaben:<\/p>\n<pre><code>Y(X) \u2248 \u03a3 c\u2096 \u03a8\u2096(X)<\/code><\/pre>\n<p>Die Basisfunktionen <code>\u03a8\u2096<\/code> werden orthogonal zu den Eingabewahrscheinlichkeitsverteilungen ausgew\u00e4hlt. Legendre-Polynome werden h\u00e4ufig mit einheitlichen Eingaben assoziiert, w\u00e4hrend Hermite-Polynome mit Gau\u00dfschen Eingaben assoziiert sind.<\/p>\n<p>Die Koeffizienten <code>c\u2096<\/code> k\u00f6nnen durch Regression, Quadratur, Projektion oder eine aufdringliche Neuformulierung der ma\u00dfgeblichen Gleichungen gesch\u00e4tzt werden.<\/p>\n<h3>Nicht aufdringliche PCE<\/h3>\n<p>Ein nicht aufdringlicher PCE behandelt den Simulator als Black Box. Der Arbeitsablauf ist:<\/p>\n<ol>\n<li>W\u00e4hlen Sie eine Polynombasis aus.<\/li>\n<li>Trainings- oder Quadraturpunkte generieren.<\/li>\n<li>F\u00fchren Sie den Original-Simulator an diesen Punkten aus.<\/li>\n<li>Sch\u00e4tzen Sie die Ausdehnungskoeffizienten.<\/li>\n<li>Validieren Sie die Erweiterung an unabh\u00e4ngigen Punkten.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Dieser Ansatz kann um ein vorhandenes CFD-, Finite-Element-, Phasenfeld- oder molekulares Modell hinzugef\u00fcgt werden, ohne seine internen Gleichungen zu \u00e4ndern.<\/p>\n<h3>aufdringliche PCE<\/h3>\n<p>Eine aufdringliche Formulierung ersetzt die Erweiterung in die ma\u00dfgeblichen Gleichungen und leitet ein gekoppeltes deterministisches System f\u00fcr die Koeffizienten ab.<\/p>\n<p>Es kann f\u00fcr geeignete Gleichungen effizient sein, erfordert jedoch gr\u00f6\u00dfere \u00c4nderungen am Solver. Das gekoppelte System kann auch gro\u00df und schwierig vorbedingen.<\/p>\n<h2>Wenn PCE wirksam ist<\/h2>\n<p>PCE kann schnell konvergieren, wenn die Modellantwort mit den unsicheren Eingaben reibungslos variiert und die effektive Parameterdimension bescheiden ist.<\/p>\n<p>Es sollte nicht mit einem universellen Beschleunigungsfaktor beschrieben werden. Die Anzahl der erforderlichen Simulationen h\u00e4ngt ab von:<\/p>\n<ul>\n<li>Anzahl unsicherer Parameter<\/li>\n<li>Polynomordnung<\/li>\n<li>St\u00e4rke der Parameterinteraktionen<\/li>\n<li>Geschmeidigkeit der Antwort<\/li>\n<li>Regressions- oder Quadraturstrategie<\/li>\n<li>Gew\u00fcnschte Genauigkeit<\/li>\n<li>Qualit\u00e4t des experimentellen Designs<\/li>\n<\/ul>\n<p>Bei diskontinuierlichen Antworten, Bifurkationen, Kontakt\u00e4nderungen, Schwellenereignissen oder L\u00f6serfehlern kann eine globale Polynomexpansion langsam konvergieren oder oszillierende Artefakte erzeugen.<\/p>\n<h2>Der Fluch der Dimensionalit\u00e4t<\/h2>\n<p>Eine Gesamtgrad-Polynombasis der Ordnung <code>p<\/code> in <code>d<\/code> Unsichere Parameter Enth\u00e4lt:<\/p>\n<pre><code>Number of terms = (d + p)! \/ (d! p!)<\/code><\/pre>\n<p>F\u00fcr 20 Parameter und Ordnung drei ergibt dies 1.771 Terme. Eine stabile Regression erfordert in der Regel mehr Trainingspunkte als Koeffizienten, so dass der Rechenbedarf schnell unpraktisch werden kann.<\/p>\n<p>Die Anzahl der Parameter allein ist nicht das vollst\u00e4ndige Problem. Ein nominell hochdimensionales Modell kann immer noch eine geringe effektive Dimension haben, wenn nur wenige Parameter oder Wechselwirkungen die Antwort steuern.<\/p>\n<h2>Sp\u00e4rliches Polynom-Chaos<\/h2>\n<p>Sparse PCE reduziert die Anzahl der Kandidaten-Basisbedingungen oder w\u00e4hlt nur Begriffe aus, die von den verf\u00fcgbaren Daten unterst\u00fctzt werden.<\/p>\n<p>Gemeinsame Ans\u00e4tze sind:<\/p>\n<ul>\n<li>hyperbolische Verk\u00fcrzung, die Interaktionsbegriffe h\u00f6herer Ordnung bestraft<\/li>\n<li>Regression der kleinsten Winkel<\/li>\n<li>Lasso oder eine andere regulierte Regression<\/li>\n<li>Kompressionsgef\u00fchl<\/li>\n<li>Adaptive Basis-Anreicherung<\/li>\n<li>smolyak sp\u00e4rliche quadraturgitter<\/li>\n<\/ul>\n<p>Sparse-Methoden k\u00f6nnen PCE auf gr\u00f6\u00dfere Parameters\u00e4tze erweitern, beseitigen jedoch nicht automatisch Dimensionalit\u00e4tsprobleme. Ihr Erfolg h\u00e4ngt von Koeffizientensparsit\u00e4t und Interaktionen niedriger Ordnung ab.<\/p>\n<p>Der <a href=\"https:\/\/www.ptb.de\/emrp\/fileadmin\/documents\/nmasatue\/NEW04\/Papers\/BPG-WP2-NEW04.pdf\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\"> PTB Best-Practice-Leitfaden <\/a> diskutiert Polynom-Chaos, sp\u00e4rliche Gitter und Dimensionalit\u00e4ts\u00fcberlegungen in der Unsicherheitsanalyse.<\/p>\n<h2>Statistik und Sensibilit\u00e4t von PCE<\/h2>\n<p>Wenn die Basis orthonormal ist, k\u00f6nnen Ausgangsmomente direkt aus den Ausdehnungskoeffizienten erhalten werden.<\/p>\n<p>Der konstante Koeffizient gibt den Mittelwert an:<\/p>\n<pre><code>E[Y] = c\u2080<\/code><\/pre>\n<p>Die Varianz ist die Summe der quadratischen nicht konstanten Koeffizienten:<\/p>\n<pre><code>Var[Y] = \u03a3 c\u2096\u00b2<\/code><\/pre>\n<p>SOBOL-Indizes k\u00f6nnen berechnet werden, indem Koeffizienten gem\u00e4\u00df den in jedem Polynombegriffen vorhandenen Variablen gruppiert werden. Dies erfordert keine zus\u00e4tzlichen aufwendigen Auswertungen der Originalsimulation nach der Montage der PCE.<\/p>\n<p>Die Sensitivit\u00e4tsberechnung ist kosteng\u00fcnstig, aber die PCE selbst muss zuerst gezeigt werden, um das Modell genau zu approximieren.<\/p>\n<h2>Stochastische Kollokation<\/h2>\n<p>Die stochastische Kollokation bewertet den deterministischen Simulator an ausgew\u00e4hlten Punkten im Unsicherheitsraum und konstruiert eine interpolierende oder projektionsbasierte Approximation.<\/p>\n<p>Gau\u00dfsche Quadratur kann in niedrigen Abmessungen gut funktionieren. Sp\u00e4rliche Gitter reduzieren das Wachstum der Anzahl der mehrdimensionalen Punkte. Adaptive Gitter hinzuf\u00fcgen Punkte, bei denen die Antwort eine gr\u00f6\u00dfere Aufl\u00f6sung erfordert.<\/p>\n<p>Gew\u00f6hnliche Sobol- oder lateinische Hyperw\u00fcrfelproben sind f\u00fcr Regressions-basierte Surrogate n\u00fctzlich, sollten jedoch nicht mit klassischen Quadratur-Kollokationsregeln verwechselt werden.<\/p>\n<h2>Surrogate-basiertes UQ<\/h2>\n<p>Wenn eine High-Fidelity-Simulation Stunden oder Tage dauert, kann ein Ersatz erforderlich sein. Ein Ersatz wird auf eine begrenzte Anzahl teurer Simulationen trainiert und dann w\u00e4hrend der Unsicherheitsausbreitung billig bewertet.<\/p>\n<p>Gemeinsame Entscheidungen sind:<\/p>\n<ul>\n<li>Polynom-Antwortoberfl\u00e4chen<\/li>\n<li>Polynom-Chaos-Erweiterungen<\/li>\n<li>Gau\u00dfsche Prozesse oder Kriging-Modelle<\/li>\n<li>radiale Basisfunktionen<\/li>\n<li>Modelle mit reduzierter Ordnung<\/li>\n<li>Neural-Netzwerk-Surrogate<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ein Ersatz f\u00fcgt eine neue Unsicherheit hinzu. Quelle: Approximationsfehler. Es muss an Punkten validiert werden, die w\u00e4hrend des Trainings nicht verwendet wurden.<\/p>\n<p>Der <a href=\"https:\/\/matforge.org\/machine-learning-surrogates-scientific-simulations\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Maschine-Learning-Surrogate-Anleitung <\/a> erl\u00e4utert die Auswahl und Validierung der Modelle ausf\u00fchrlicher.<\/p>\n<h2>Lokale und globale Sensitivit\u00e4tsanalyse<\/h2>\n<p>Lokale Sensitivit\u00e4tsanalyse untersucht Derivate in der N\u00e4he eines Referenzzustands:<\/p>\n<pre><code>\u2202Y \/ \u2202X\u1d62<\/code><\/pre>\n<p>Es ist n\u00fctzlich f\u00fcr gradientenbasierte Optimierung, Kalibrierung und kleine St\u00f6rungen. Es kann nichtlineares Verhalten und Interaktionen an anderer Stelle im Parameterraum \u00fcbersehen.<\/p>\n<p>Die globale Sensitivit\u00e4tsanalyse variiert die Eingaben \u00fcber ihre vollst\u00e4ndig zugewiesenen Bereiche oder Verteilungen. Es eignet sich besser f\u00fcr nichtlineare Modelle und Unsicherheitszuordnung.<\/p>\n<h2>SOBOL-Sensitivit\u00e4tsindizes<\/h2>\n<p>Die SOBOL-Analyse zerlegt die Ausgabevarianz in Beitr\u00e4ge von einzelnen Parametern und deren Wechselwirkungen.<\/p>\n<p>Der Index erster Ordnung ist:<\/p>\n<pre><code>S\u1d62 =\nVar(E[Y | X\u1d62])\n\/ Var(Y)<\/code><\/pre>\n<p>Es misst allein die Varianz, die durch Parameter <code>X\u1d62<\/code>  erkl\u00e4rt wird.<\/p>\n<p>Der Total-Order-Index enth\u00e4lt den Parameter und jede damit verbundene Interaktion:<\/p>\n<pre><code>S_T\u1d62 =\n1 - Var(E[Y | X\u208b\u1d62])\n    \/ Var(Y)<\/code><\/pre>\n<p>Ein gro\u00dfer Unterschied zwischen Indizes der Gesamtordnung und der ersten Ordnung legt nahe, dass Interaktionen wichtig sind.<\/p>\n<p>Die klassische SOBOL-Zerlegung geht normalerweise von unabh\u00e4ngigen Eingangsvariablen aus. Abh\u00e4ngige Eingaben erfordern modifizierte Methoden oder Transformationen, und ihre Indizes m\u00fcssen unterschiedlich interpretiert werden.<\/p>\n<h2>Morris-Screening<\/h2>\n<p>Die Morris-Methode ist eine wirtschaftliche Screening-Technik. Es berechnet elementare Effekte entlang mehrerer Trajektorien im Eingaberaum.<\/p>\n<p>Zwei g\u00e4ngige Zusammenfassungen sind:<\/p>\n<ul>\n<li><code>\u03bc*<\/code>, der mittlere absolute elementare Effekt, der als Wichtigkeitsma\u00df verwendet wird<\/li>\n<li><code>\u03c3<\/code>, die Ausbreitung der Effekte, die auf Nichtlinearit\u00e4t, Wechselwirkungen oder beides hinweist<\/li>\n<\/ul>\n<p>Morris bietet keine direkte Zerlegung der Ausgangsvarianz. Sein Zweck ist es, eindeutig unwichtige Eingaben von Parametern zu trennen, die eine detailliertere Analyse erfordern.<\/p>\n<h2>Schnelle und andere Methoden<\/h2>\n<p>Der Fourier-Amplitudenempfindlichkeitstest weist der Eingangsvariation Frequenzen zu und sch\u00e4tzt Varianzbeitr\u00e4ge aus dem Fourier-Spektrum der Modellantwort.<\/p>\n<p>Andere Methoden dienen anderen Zielen:<\/p>\n<ul>\n<li>RBD-Fast f\u00fcr effiziente Analyse erster Ordnung<\/li>\n<li>Pfand f\u00fcr verteilungsbasierte Empfindlichkeit<\/li>\n<li>Delta-momentunabh\u00e4ngige Ma\u00dfnahmen<\/li>\n<li>Derivatebasierte globale Sensitivit\u00e4tsma\u00dfnahmen<\/li>\n<li>Standardisierte Regressionskoeffizienten f\u00fcr ann\u00e4hernd lineare Modelle<\/li>\n<\/ul>\n<p>Kein Sensitivit\u00e4tsma\u00df ist universell am besten. Die Methode sollte mit den Modellkosten, der Abh\u00e4ngigkeitsstruktur, der Nichtlinearit\u00e4t und der wissenschaftlichen Frage \u00fcbereinstimmen.<\/p>\n<h2>Python-Tools f\u00fcr UQ und Empfindlichkeit<\/h2>\n<table class=\"custom-table\">\n<tbody>\n<tr>\n<th>Bibliothek<\/th>\n<th>Hauptfokus<\/th>\n<th>Typische Verwendung<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><a href=\"https:\/\/uqpyproject.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Uqpy<\/a><\/td>\n<td>Allgemeine Unsicherheitsmethoden<\/td>\n<td>Probenahme, Zuverl\u00e4ssigkeit, PCE, Surrogate, Empfindlichkeit und stochastische Prozesse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><a href=\"https:\/\/chaospy.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Chaospy<\/a><\/td>\n<td>Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Polynom-Chaos<\/td>\n<td>Orthogonale Erweiterungen, Quadratur, Regression, Momente und SOBOL-Indizes<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><a href=\"https:\/\/salib.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Salib<\/a><\/td>\n<td>Globale Sensitivit\u00e4tsanalyse<\/td>\n<td>Sobol, Morris, Fast, RBD-Fast, Pawn, Delta und verwandte Methoden<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><a href=\"https:\/\/smt.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">smt<\/a><\/td>\n<td>Ersatzmodellierung<\/td>\n<td>Kriging, radiale Basisfunktionen, Polynommodelle, Derivate und Multi-Fidelity-Methoden<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><a href=\"https:\/\/uncertainpy.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Unsicherheit<\/a><\/td>\n<td>Black-Box-UQ- und Funktionsanalyse<\/td>\n<td>PCE, Quasi-Monte Carlo, Empfindlichkeit und abh\u00e4ngige Parametertransformationen<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Das \u00d6kosystem ist eher spezialisiert als streng All-in-One. Ein Projekt kann Salib f\u00fcr das Screening, Chaospy oder UQPY f\u00fcr PCE und SMT f\u00fcr einen teuren Modell-Surrogat verwenden.<\/p>\n<h2>Ein PCE-Beispiel mit Chaospy<\/h2>\n<p>Das folgende Beispiel passt zu einer polynomialen Approximation eines Zwei-Eingangsmodells durch Regression:<\/p>\n<pre><code class=\"language-python\">import chaospy as cp\nimport numpy as np\n\n# Independent uncertain parameters\ndistribution = cp.J(\n    cp.Uniform(0.8, 1.2),\n    cp.Normal(2.0, 0.1)\n)\n\n# Total-degree polynomial basis\norder = 3\nexpansion = cp.generate_expansion(\n    order,\n    distribution\n)\n\n# Experimental design\nsample_count = 100\nsamples = distribution.sample(\n    sample_count,\n    rule=\"sobol\"\n)\n\ndef model(sample):\n    conductivity = sample[0]\n    source_strength = sample[1]\n\n    return (\n        source_strength\n        \/ conductivity\n        + 0.2 * conductivity ** 2\n    )\n\nevaluations = np.array([\n    model(samples[:, index])\n    for index in range(sample_count)\n])\n\n# Fit non-intrusive PCE by regression\napproximation = cp.fit_regression(\n    expansion,\n    samples,\n    evaluations\n)\n\nmean = cp.E(\n    approximation,\n    distribution\n)\n\nvariance = cp.Var(\n    approximation,\n    distribution\n)\n\nfirst_order = cp.Sens_m(\n    approximation,\n    distribution\n)\n\ntotal_order = cp.Sens_t(\n    approximation,\n    distribution\n)\n\nprint(\"Mean:\", float(mean))\nprint(\"Standard deviation:\", float(np.sqrt(variance)))\nprint(\"First-order Sobol indices:\", first_order)\nprint(\"Total-order Sobol indices:\", total_order)<\/code><\/pre>\n<p>Diese Berechnung ist nur dann aussagekr\u00e4ftig, nachdem die Polynom-N\u00e4herung an unabh\u00e4ngigen Validierungsproben \u00fcberpr\u00fcft wurde.<\/p>\n<h2>Ein Sobol-Beispiel mit Salib<\/h2>\n<pre><code class=\"language-python\">import numpy as np\n\nfrom SALib.sample import sobol as sobol_sample\nfrom SALib.analyze import sobol as sobol_analyze\n\nproblem = {\n    \"num_vars\": 3,\n    \"names\": [\n        \"conductivity\",\n        \"heat_capacity\",\n        \"source_strength\"\n    ],\n    \"bounds\": [\n        [0.8, 1.2],\n        [0.9, 1.1],\n        [1.5, 2.5]\n    ]\n}\n\nparameter_values = sobol_sample.sample(\n    problem,\n    N=1024,\n    calc_second_order=False,\n    seed=42\n)\n\ndef model(parameters):\n    conductivity = parameters[0]\n    heat_capacity = parameters[1]\n    source_strength = parameters[2]\n\n    return (\n        source_strength\n        \/ (conductivity * heat_capacity)\n        + 0.1 * conductivity ** 2\n    )\n\noutputs = np.array([\n    model(parameters)\n    for parameters in parameter_values\n])\n\nindices = sobol_analyze.analyze(\n    problem,\n    outputs,\n    calc_second_order=False,\n    print_to_console=False\n)\n\nfor index, name in enumerate(problem[\"names\"]):\n    print(name)\n    print(\"  First order:\", indices[\"S1\"][index])\n    print(\"  Total order:\", indices[\"ST\"][index])<\/code><\/pre>\n<p>Die von einem SoBol-Design verwendete Probenzahl ist gr\u00f6\u00dfer als der Basiswert <code>N<\/code>. Dies h\u00e4ngt von der Anzahl der Variablen ab und davon, ob Indizes zweiter Ordnung angefordert werden.<\/p>\n<h2>Validierung eines Ersatzes oder PCE<\/h2>\n<p>Ein Leihmutterschaft sollte nicht nur anhand seines Trainingsfehlers beurteilt werden. Verwenden Sie unabh\u00e4ngige Validierungspunkte und untersuchen Sie:<\/p>\n<ul>\n<li>Root Mean quadratischer Fehler<\/li>\n<li>Maximaler Fehler<\/li>\n<li>relativer Fehler nahe wichtiger Schwellenwerte<\/li>\n<li>Abdeckung von vorhergesagten Intervallen<\/li>\n<li>Restmuster<\/li>\n<li>Genauigkeit von Momenten und Quantilen<\/li>\n<li>Stabilit\u00e4t von Sensitivit\u00e4tsrankings<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Kreuzvalidierung kann die Modellauswahl unterst\u00fctzen, aber ein endg\u00fcltiger unber\u00fchrter Testsatz bleibt wertvoll.<\/p>\n<p>Wenn ein Ersatz in einem kleinen Bereich mit hoher Ausfallwahrscheinlichkeit oder Sicherheitsfolgen ungenau ist, kann ein niedriger globaler mittlerer Fehler immer noch inakzeptabel sein.<\/p>\n<h2>Auswahl einer Methode<\/h2>\n<table class=\"custom-table\">\n<tbody>\n<tr>\n<th>Modellcharakteristik<\/th>\n<th>M\u00f6glicher Ausgangspunkt<\/th>\n<th>Hauptvorsicht<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Reibungslose Reaktion mit wenigen einflussreichen Parametern<\/td>\n<td>PCE oder stochastische Kollokation<\/td>\n<td>Validierung der Polynomreihenfolge und des experimentellen Designs<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Moderate nominale Dimension mit sp\u00e4rlichen Wechselwirkungen<\/td>\n<td>sp\u00e4rliches PCE oder adaptives sp\u00e4rliches Gitter<\/td>\n<td>Sparsamkeit muss eher demonstriert als angenommen werden<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Diskontinuierliche oder Schwellenantwort<\/td>\n<td>Monte Carlo, randomisierter QMC oder ein lokaler Ersatz<\/td>\n<td>Globale Polynome k\u00f6nnen schlecht konvergieren<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Sehr teurer Simulator<\/td>\n<td>Kriging, Modell mit reduzierter Ordnung oder Multi-Fidelity-Surrogat<\/td>\n<td>Surrogat-Fehler in die Analyse einbeziehen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Viele Eingaben, die anf\u00e4ngliches Ranking erfordern<\/td>\n<td>Morris-Screening<\/td>\n<td>Ergebnisse sind eher qualitative als Varianzanteile<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Ben\u00f6tigen Sie eine quantitative Varianzattribution<\/td>\n<td>Sobol oder schnell<\/td>\n<td>Stichprobenkosten k\u00f6nnen hoch sein<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>stark abh\u00e4ngige Parameter<\/td>\n<td>Abh\u00e4ngigkeitsbewusste Sampling- und Sensitivit\u00e4tsmethoden<\/td>\n<td>Klassische Input-Input-SOBOL-Interpretation kann scheitern<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Schlecht charakterisierte epistemische Unsicherheit<\/td>\n<td>Intervalle, Ensembles oder ungenaue Wahrscheinlichkeitsmethoden<\/td>\n<td>Eine genaue Verteilung kann nicht unterst\u00fctztes Wissen implizieren<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h2>H\u00e4ufige Fehler<\/h2>\n<ul>\n<li>Beginnen Sie mit einer gro\u00dfen UQ-Kampagne, bevor Sie die numerische Konvergenz \u00fcberpr\u00fcfen<\/li>\n<li>Zuweisung von Aussch\u00fcttungen ohne Daten oder dokumentiertes Gutachten<\/li>\n<li>Behandlung der aleatorischen und epistemischen Unsicherheit als austauschbar<\/li>\n<li>Ignorieren der Unsicherheit der Modellform<\/li>\n<li>Verwenden einer vollst\u00e4ndigen Polynombasis in einem hochdimensionalen Problem, ohne die Basisgr\u00f6\u00dfe zu \u00fcberpr\u00fcfen<\/li>\n<li>Angenommen, dass sp\u00e4rliche PCE f\u00fcr jedes Modell mit 20 oder 50 Parametern funktioniert<\/li>\n<li>Berichterstattung von PCE-Momenten ohne Validierung des Ersatzes<\/li>\n<li>Verwendung klassischer SOBOL-Indizes f\u00fcr abh\u00e4ngige Eingaben ohne Modifikation<\/li>\n<li>Verwirrende Morris-Screening-Ma\u00dfnahmen mit Varianzbeitr\u00e4gen<\/li>\n<li>Sensitivit\u00e4tsindizes ohne Konfidenzintervalle melden<\/li>\n<li>Verwerfen fehlgeschlagener Simulationen ohne Untersuchung der Fehlerregion<\/li>\n<li>Mischen von Stichprobenfehlern, Ersatzfehlern und numerischer Diskretisierungsfehler<\/li>\n<li>Reporting einer universellen Beschleunigung f\u00fcr eine UQ-Methode<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Eine reproduzierbare UQ-Kampagne<\/h2>\n<p>Eine publikationsf\u00e4hige Studie sollte aufzeichnen:<\/p>\n<ul>\n<li>Modell- und Softwareversionen<\/li>\n<li>Eingabeverteilungen, Grenzen, Korrelationen und Belege<\/li>\n<li>Zuf\u00e4llige Samen und Probenahmemethode<\/li>\n<li>Anzahl der Proben oder Trainingssimulationen<\/li>\n<li>Polynomordnung oder Ersatz-Hyperparameter<\/li>\n<li>Regressions- und Regularisierungsmethode<\/li>\n<li>Validierungsdesign<\/li>\n<li>Solver-Fehler und ausgeschlossene L\u00e4ufe<\/li>\n<li>Konfidenzintervalle f\u00fcr gesch\u00e4tzte Statistiken<\/li>\n<li>Konvergenzpr\u00fcfungen f\u00fcr Momente und Sensitivit\u00e4tsindizes<\/li>\n<\/ul>\n<p>Der <a href=\"https:\/\/matforge.org\/reproducible-parameter-sweeps-designing-simulation-campaigns-for-publication\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Reproduzierbare Parameter-Sweep-Leitfaden <\/a> bietet eine n\u00fctzliche Struktur f\u00fcr die Planung und Dokumentation dieser Kampagnen.<\/p>\n<h2>Beispiel f\u00fcr Materialmodellierung<\/h2>\n<p>Betrachten Sie ein Phasenfeldmodell mit unsicherer Mobilit\u00e4t, Grenzfl\u00e4chenenergie, Diffusivit\u00e4t, anf\u00e4nglicher Zusammensetzung und Abk\u00fchlungsrate.<\/p>\n<p>Ein praktischer Arbeitsablauf k\u00f6nnte sein:<\/p>\n<ol>\n<li>\u00dcberpr\u00fcfen Sie die r\u00e4umliche und zeitliche Konvergenz des deterministischen L\u00f6sers.<\/li>\n<li>Definieren Sie Verteilungen aus Experimenten oder Literatur.<\/li>\n<li>Verwenden Sie Morris Screening, um einflussreiche Parameter zu identifizieren.<\/li>\n<li>Erstellen Sie einen PCE- oder Kriging-Surrogat mit dem reduzierten Eingabesatz.<\/li>\n<li>Validieren Sie den Ersatz gegen unabh\u00e4ngige Phasenfeldl\u00e4ufe.<\/li>\n<li>Sch\u00e4tzen Sie die Unsicherheit in Korngr\u00f6\u00dfe, Phasenanteil oder Erstarrungszeit ab.<\/li>\n<li>Berechnen Sie Sobol-Indizes.<\/li>\n<li>Priorisieren Sie neue Messungen f\u00fcr die Parameter, die die gr\u00f6\u00dfte Varianz steuern.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Die <a href=\"https:\/\/matforge.org\/introduction-to-materials-modeling-for-beginners\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Einf\u00fchrung in die Materialmodellierung<\/a> Hintergrund zu den Rechenmodellen, die in einen solchen Workflow eingebettet werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<h2>Verwandte Anleitungen<\/h2>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/matforge.org\/monte-carlo-methods-for-scientific-simulations\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Monte Carlo-Methoden f\u00fcr wissenschaftliche Simulationen<\/a> &#8211; Vergleichen Sie Zufallsstichproben, QMC, LHS und Konvergenzverhalten.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/matforge.org\/verification-vs-validation-in-scientific-simulations-a-practical-guide\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Verifikation Vs. Validierung in wissenschaftlichen Simulationen <\/a> &#8211; Platzieren Sie UQ in einem vollst\u00e4ndigen Modellglaubw\u00fcrdigkeitsprozess.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/matforge.org\/reproducible-parameter-sweeps-designing-simulation-campaigns-for-publication\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Reproduzierbare Parameter-Sweeps <\/a> &#8211; Planen Sie Simulationskampagnen und bewahren Sie vollst\u00e4ndige experimentelle Aufzeichnungen auf.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/matforge.org\/machine-learning-surrogates-scientific-simulations\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Maschinenlern-Surrogate f\u00fcr wissenschaftliche Simulationen <\/a> &#8211; Erstellen und validieren Sie kosteng\u00fcnstige Ann\u00e4herungen kostspieliger Modelle.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/matforge.org\/when-to-use-fem-fvm-fdm\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Wann verwendet werden FEM, FVM oder FDM<\/a> \u2014 W\u00e4hlen Sie die deterministische numerische Methode aus, die der UQ-Studie zugrunde liegt.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>weiterlesen<\/h2>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.asme.org\/codes-standards\/publications-information\/verification-validation-uncertainty\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">ASME-\u00dcberpr\u00fcfung, Validierung und Unsicherheitsquantifizierung<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.nationalacademies.org\/read\/13395\/chapter\/9\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Nationale Akademien: Unsicherheitsquantifizierung<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.ptb.de\/emrp\/fileadmin\/documents\/nmasatue\/NEW04\/Papers\/BPG-WP2-NEW04.pdf\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">PTB Best-Practice-Leitfaden zur Quantifizierung der Unsicherheit<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/uqpyproject.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">UQPY-Dokumentation<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/chaospy.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Chaospy-Dokumentation<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/salib.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Salib-Dokumentation<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/smt.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Surrogate-Modellierungs-Toolbox-Dokumentation<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/uncertainpy.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Unsichere Dokumentation<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h2>Schlussfolgerung<\/h2>\n<p>Die Unsicherheitsquantifizierung wandelt unsichere Simulationseingaben in Verteilungen, Intervalle oder Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr vorhergesagte Ausgaben um. Die Sensitivit\u00e4tsanalyse erkl\u00e4rt, welche Eingaben und Interaktionen f\u00fcr diese Ergebnisse verantwortlich sind.<\/p>\n<p>Monte Carlo bleibt die allgemeinste Vermehrungsmethode. Polynom-Chaos und stochastische Kollokation k\u00f6nnen f\u00fcr glatte Modelle mit niedrigem Wirkungsgrad effizienter sein. Sparse-Erweiterungen und Ersatzmodelle k\u00f6nnen diese Methoden auf teurere oder m\u00e4\u00dfig h\u00f6herdimensionale Anwendungen erweitern, erfordern jedoch eine sorgf\u00e4ltige Validierung.<\/p>\n<p>Sobol-Indizes bieten eine quantitative Varianzattribution, w\u00e4hrend Morris ein wirtschaftliches Fr\u00fchstadium-Screening bietet. Salib, UQPY, Chaospy, SMT und Ungewissheit unterst\u00fctzen verschiedene Teile dieses Workflows und nicht eine identische Reihe von Funktionen.<\/p>\n<p>Eine glaubw\u00fcrdige UQ-Studie beginnt vor der Probenahme. Es identifiziert Unsicherheitsquellen, \u00fcberpr\u00fcft die numerische Konvergenz, begr\u00fcndet Verteilungen, validiert Surrogate, misst den Sch\u00e4tzfehler und meldet jede wichtige Annahme.<\/p>\n<p>Der Zweck besteht nicht darin, Fehlerbalken mechanisch anzubringen. Es geht darum zu verstehen, was die Vorhersage steuert, wie viel Vertrauen die verf\u00fcgbaren Beweise unterst\u00fctzen und welche Ma\u00dfnahmen die Unsicherheit am effektivsten verringern w\u00fcrden.<\/p>\n<\/article>\n","protected":false,"raw":"<article>\n<p>Eine wissenschaftliche Simulation erh\u00e4lt selten vollkommen bekannte Eingaben. Materialeigenschaften stammen aus Messungen mit Fehlerbalken. Die Randbedingungen variieren zwischen den Experimenten. Anfangszust\u00e4nde k\u00f6nnen nur teilweise beobachtet werden. Numerische Modelle vereinfachen auch physikalische Prozesse, die nicht detailliert dargestellt werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Die auf UQ verk\u00fcrzte Unsicherheitsquantifizierung untersucht, wie diese Unsicherheiten die Simulationsvorhersagen beeinflussen. Die Sensitivit\u00e4tsanalyse fragt, welche unsicheren Eingaben f\u00fcr die beobachteten \u00c4nderungen der Ausgabe verantwortlich sind.<\/p>\n<p>Die beiden Disziplinen unterst\u00fctzen unterschiedliche Entscheidungen. UQ kann zeigen, dass eine vorhergesagte Spitzentemperatur innerhalb eines breiten Intervalls liegt. Die Sensitivit\u00e4tsanalyse kann ergeben, dass der gr\u00f6\u00dfte Teil dieses Intervalls durch Unsicherheit der W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit und nicht durch W\u00e4rmekapazit\u00e4t oder Grenztemperatur verursacht wird.<\/p>\n<p>Zusammen helfen sie den Forschern dabei, glaubw\u00fcrdige Vorhersageintervalle zu melden, neue Messungen zu priorisieren, Modelle zu vereinfachen und effizientere Simulationskampagnen zu entwerfen.<\/p>\n<h2>Was ist Unsicherheitsquantifizierung?<\/h2>\n<p>Betrachten Sie ein Computermodell:<\/p>\n<pre><code>Y = M(X)<\/code><\/pre>\n<p>Der Vektor <code>X<\/code> enth\u00e4lt unsichere Eingaben, w\u00e4hrend <code>Y<\/code> eine vorhergesagte interessierende Gr\u00f6\u00dfe ist. Beispiele f\u00fcr <code>Y<\/code> umfassen maximale Spannung, Reaktionsausbeute, Temperatur, Rissl\u00e4nge, Wellenankunftszeit oder Druckabfall.<\/p>\n<p>UQ ordnet den unsicheren Eingaben mathematische Beschreibungen zu und verbreitet sie \u00fcber das Modell. Das Ergebnis kann sein:<\/p>\n<ul>\n<li>Erwarteter Wert<\/li>\n<li>Varianz und Standardabweichung<\/li>\n<li>Quantils<\/li>\n<li>Vorhersage oder glaubw\u00fcrdige Intervalle<\/li>\n<li>Wahrscheinlichkeit, eine Sicherheitsschwelle zu \u00fcberschreiten<\/li>\n<li>Vollst\u00e4ndige Ausgabewahrscheinlichkeitsverteilungen<\/li>\n<\/ul>\n<p>UQ beweist nicht automatisch, dass ein Modell korrekt ist. Es beschreibt die Konsequenzen bestimmter Unsicherheitsannahmen. Falsche Verteilungen, fehlende Unsicherheitsquellen oder ein ung\u00fcltiges physikalisches Modell k\u00f6nnen immer noch irref\u00fchrende Intervalle erzeugen.<\/p>\n<h2>Was ist Sensitivit\u00e4tsanalyse?<\/h2>\n<p>Die Sensitivit\u00e4tsanalyse misst, wie sich \u00c4nderungen der Modelleingaben auf eine Ausgabe auswirken. Es kann Fragen beantworten wie:<\/p>\n<ul>\n<li>Welche Parameter tragen am meisten zur Ausgangsvarianz bei?<\/li>\n<li>Welche Eing\u00e4nge haben fast keine Wirkung?<\/li>\n<li>Sind Interaktionen zwischen Parametern wichtig?<\/li>\n<li>Welche Messung sollte zuerst verbessert werden?<\/li>\n<li>Kann das Modell reduziert werden, ohne seine Vorhersagen zu \u00e4ndern?<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ein Parameter kann einen gro\u00dfen Unsicherheitsbereich haben, aber nur einen geringen Einfluss auf die Ausgabe. Ein anderer Parameter kann ziemlich genau bekannt sein, hat aber einen starken physikalischen Einfluss. Die Empfindlichkeit h\u00e4ngt sowohl von der Modellantwort als auch von der angenommenen Eingabeunsicherheit ab.<\/p>\n<h2>UQ im VVUQ-Framework<\/h2>\n<p>Verifizierung, Validierung und Unsicherheitsquantifizierung bilden einen Rahmen f\u00fcr verbundene Glaubw\u00fcrdigkeit:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Verifikation:<\/strong> Sind die Gleichungen korrekt implementiert und gel\u00f6st?<\/li>\n<li><strong>Validierung:<\/strong> Repr\u00e4sentiert das Modell das reale System angemessen f\u00fcr den beabsichtigten Gebrauch?<\/li>\n<li><strong>Unsicherheitsquantifizierung:<\/strong> Wie wirken sich unsichere Eingaben, Modellannahmen und andere Unsicherheitsquellen auf Vorhersagen aus?<\/li>\n<\/ol>\n<p>Die Sensitivit\u00e4tsanalyse unterst\u00fctzt dieses Framework, indem die Annahmen und Parameter die in einer Entscheidung verwendeten Gr\u00f6\u00dfen am st\u00e4rksten beeinflussen.<\/p>\n<p>Die <a href=\"https:\/\/www.asme.org\/codes-standards\/publications-information\/verification-validation-uncertainty\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">ASME VVUQ Standards Portfolio <\/a> bietet dom\u00e4nenspezifische Leitlinien zur Bewertung der Glaubw\u00fcrdigkeit von Rechenmodellen. Der zugeh\u00f6rige Matforge-Leitfaden zu <a href=\"https:\/\/matforge.org\/verification-vs-validation-in-scientific-simulations-a-practical-guide\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Verifikation und Validierung in wissenschaftlichen Simulationen <\/a> erkl\u00e4rt den umfassenderen Prozess.<\/p>\n<h2>Quellen der Unsicherheit<\/h2>\n<p>Eine n\u00fctzliche UQ-Studie beginnt mit einem Unsicherheitsinventar. Die Forscher sollten feststellen, wo die Unsicherheit in das Modell eindringt, bevor sie eine numerische Methode ausw\u00e4hlen.<\/p>\n<h3>aleatorische Unsicherheit<\/h3>\n<p>Aleatorische Unsicherheit stellt eine inh\u00e4rente Variabilit\u00e4t in einer Population oder einem Prozess dar. Beispiele sind Variationen der Korngr\u00f6\u00dfen, zuf\u00e4lliger Beladung, Herstellungstoleranzen oder Umgebungsbedingungen.<\/p>\n<p>Diese Variabilit\u00e4t wird nicht durch genaueres Messen einer Probe entfernt. Es wird h\u00e4ufig mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen dargestellt, die aus wiederholten Beobachtungen gesch\u00e4tzt werden.<\/p>\n<h3>epistemische Unsicherheit<\/h3>\n<p>Die epistemische Unsicherheit stellt unvollst\u00e4ndiges Wissen dar. Beispiele sind schlecht gemessene Parameter, unbekannte Randbedingungen, begrenzte experimentelle Daten oder ein unsicheres konstitutives Gesetz.<\/p>\n<p>Es kann durch neue Experimente, verbesserte Sensoren, zus\u00e4tzliche Theorie oder ein detaillierteres Modell reduziert werden. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung kann verwendet werden, wenn gen\u00fcgend Informationen vorhanden sind, Intervalle, Ensembles, Wahrscheinlichkeitsfelder oder andere ungenaue Darstellungen k\u00f6nnen jedoch vertretbarer sein, wenn die Daten schwach sind.<\/p>\n<h3>Modellformunsicherheit<\/h3>\n<p>Modellformunsicherheit entsteht, weil die Gleichungen reale physikalische Prozesse weglassen oder vereinfachen. Ein Turbulenzverschluss, Reaktionsmechanismus, Kontaktgesetz oder konstitutives Modell mit reduzierter Ordnung k\u00f6nnen auch dann unvollkommen bleiben, wenn seine Parameter bekannt sind.<\/p>\n<p>Die Eingangsausbreitung allein erfasst nicht die Unsicherheit der Modellform. Forscher ben\u00f6tigen m\u00f6glicherweise mehrere Modellformen, Diskrepanzbegriffe, Validierungsdaten oder Expertenurteil.<\/p>\n<h3>Numerische Unsicherheit<\/h3>\n<p>Diskretisierung, iterative Toleranzen, Ersatzfehler und Stichprobenfehler wirken sich ebenfalls auf die gemeldeten Vorhersagen aus. Diese sollten nicht lautlos mit der Unsicherheit des physikalischen Parameters gemischt werden.<\/p>\n<p>Mesh- und Zeitschrittkonvergenz sollte normalerweise vor einer gro\u00dfen UQ-Kampagne hergestellt werden. Andernfalls kann die Studie unsichere Eingaben durch eine nicht konvergierte L\u00f6sung propagieren.<\/p>\n<p>Die <a href=\"https:\/\/www.nationalacademies.org\/read\/13395\/chapter\/9\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Nationale Akademien Diskussion \u00fcber die Quantifizierung der Unsicherheit<\/a> betont die Identifizierung und Charakterisierung von Unsicherheitsquellen als Teil einer glaubw\u00fcrdigen Rechenvorhersage.<\/p>\n<h2>Ein allgemeiner UQ-Workflow<\/h2>\n<ol>\n<li>Definieren Sie die Vorhersage oder Entscheidungsmenge.<\/li>\n<li>\u00dcberpr\u00fcfen Sie die rechnerische Implementierung.<\/li>\n<li>numerische Konvergenz beurteilen.<\/li>\n<li>Listen Sie unsichere Parameter, Grenzdaten und Modellannahmen auf.<\/li>\n<li>getrennte aleatorische, epistemische, Modellform und numerische Unsicherheit, sofern m\u00f6glich.<\/li>\n<li>Weisen Sie gerechtfertigte Bereiche, Verteilungen oder Grenzen zu.<\/li>\n<li>W\u00e4hlen Sie eine Stichproben- oder Ersatzmethode aus.<\/li>\n<li>F\u00fchren Sie die Computerkampagne aus.<\/li>\n<li>Sch\u00e4tzen Sie die Output-Statistiken und Sensitivit\u00e4tsma\u00dfe.<\/li>\n<li>Validieren Sie den Ersatz und \u00fcberpr\u00fcfen Sie die Konvergenz der UQ-Sch\u00e4tzungen.<\/li>\n<li>Vermutungen, Fehler und Einschr\u00e4nkungen melden.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>Monte Carlo und Quasi-Monte Carlo<\/h2>\n<p>Die Ausbreitung von Monte-Carlo ist die allgemeine Grundlinie. Aus der gemeinsamen Eingabeverteilung werden Stichproben gezogen, die Simulation f\u00fcr jede Probe ausgewertet und die Ausgabestatistik aus dem resultierenden Ensemble gesch\u00e4tzt.<\/p>\n<p>Sein Hauptvorteil ist die Flexibilit\u00e4t. Es erfordert nicht, dass die Antwort glatt oder polynomartig ist. Es kann auf diskontinuierliche Ausgaben, Schwellenereignisse und komplexe Black-Box-Modelle angewendet werden.<\/p>\n<p>Seine Hauptbeschr\u00e4nkung ist die langsame statistische Konvergenz. Der Standardfehler einer gew\u00f6hnlichen Monte-Carlo-Sch\u00e4tzung nimmt typischerweise proportional ab zu:<\/p>\n<pre><code>N^(-1\/2)<\/code><\/pre>\n<p>Quasi-Monte Carlo verwendet Sequenzen mit geringer Diskrepanz, um den Parameterraum gleichm\u00e4\u00dfiger abzudecken. Randomisierte Quasi-Monte-Carlo kann auch Unsicherheitssch\u00e4tzungen unterst\u00fctzen und gleichzeitig die praktische Konvergenz f\u00fcr ausreichend regelm\u00e4\u00dfige Integranden verbessern.<\/p>\n<p>Stichprobenstrategien wie Monte-Carlo, lateinische Hyperw\u00fcrfel-Stichproben, SOBOL-Sequenzen und randomisierte QMC werden in der <a href=\"https:\/\/matforge.org\/monte-carlo-methods-for-scientific-simulations\/\" behandelt.=\"\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\"> monte carlo-Methodenhandbuch <\/a>.<\/p>\n<h2>Erweiterung des Polynom-Chaos<\/h2>\n<p>Polynom-Chaos-Erweiterung n\u00e4hert sich der Modellausgabe als Summe von orthogonalen Polynomen der unsicheren Eingaben:<\/p>\n<pre><code>Y(X) \u2248 \u03a3 c\u2096 \u03a8\u2096(X)<\/code><\/pre>\n<p>Die Basisfunktionen <code>\u03a8\u2096<\/code> werden orthogonal zu den Eingabewahrscheinlichkeitsverteilungen ausgew\u00e4hlt. Legendre-Polynome werden h\u00e4ufig mit einheitlichen Eingaben assoziiert, w\u00e4hrend Hermite-Polynome mit Gau\u00dfschen Eingaben assoziiert sind.<\/p>\n<p>Die Koeffizienten <code>c\u2096<\/code> k\u00f6nnen durch Regression, Quadratur, Projektion oder eine aufdringliche Neuformulierung der ma\u00dfgeblichen Gleichungen gesch\u00e4tzt werden.<\/p>\n<h3>Nicht aufdringliche PCE<\/h3>\n<p>Ein nicht aufdringlicher PCE behandelt den Simulator als Black Box. Der Arbeitsablauf ist:<\/p>\n<ol>\n<li>W\u00e4hlen Sie eine Polynombasis aus.<\/li>\n<li>Trainings- oder Quadraturpunkte generieren.<\/li>\n<li>F\u00fchren Sie den Original-Simulator an diesen Punkten aus.<\/li>\n<li>Sch\u00e4tzen Sie die Ausdehnungskoeffizienten.<\/li>\n<li>Validieren Sie die Erweiterung an unabh\u00e4ngigen Punkten.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Dieser Ansatz kann um ein vorhandenes CFD-, Finite-Element-, Phasenfeld- oder molekulares Modell hinzugef\u00fcgt werden, ohne seine internen Gleichungen zu \u00e4ndern.<\/p>\n<h3>aufdringliche PCE<\/h3>\n<p>Eine aufdringliche Formulierung ersetzt die Erweiterung in die ma\u00dfgeblichen Gleichungen und leitet ein gekoppeltes deterministisches System f\u00fcr die Koeffizienten ab.<\/p>\n<p>Es kann f\u00fcr geeignete Gleichungen effizient sein, erfordert jedoch gr\u00f6\u00dfere \u00c4nderungen am Solver. Das gekoppelte System kann auch gro\u00df und schwierig vorbedingen.<\/p>\n<h2>Wenn PCE wirksam ist<\/h2>\n<p>PCE kann schnell konvergieren, wenn die Modellantwort mit den unsicheren Eingaben reibungslos variiert und die effektive Parameterdimension bescheiden ist.<\/p>\n<p>Es sollte nicht mit einem universellen Beschleunigungsfaktor beschrieben werden. Die Anzahl der erforderlichen Simulationen h\u00e4ngt ab von:<\/p>\n<ul>\n<li>Anzahl unsicherer Parameter<\/li>\n<li>Polynomordnung<\/li>\n<li>St\u00e4rke der Parameterinteraktionen<\/li>\n<li>Geschmeidigkeit der Antwort<\/li>\n<li>Regressions- oder Quadraturstrategie<\/li>\n<li>Gew\u00fcnschte Genauigkeit<\/li>\n<li>Qualit\u00e4t des experimentellen Designs<\/li>\n<\/ul>\n<p>Bei diskontinuierlichen Antworten, Bifurkationen, Kontakt\u00e4nderungen, Schwellenereignissen oder L\u00f6serfehlern kann eine globale Polynomexpansion langsam konvergieren oder oszillierende Artefakte erzeugen.<\/p>\n<h2>Der Fluch der Dimensionalit\u00e4t<\/h2>\n<p>Eine Gesamtgrad-Polynombasis der Ordnung <code>p<\/code> in <code>d<\/code> Unsichere Parameter Enth\u00e4lt:<\/p>\n<pre><code>Number of terms = (d + p)! \/ (d! p!)<\/code><\/pre>\n<p>F\u00fcr 20 Parameter und Ordnung drei ergibt dies 1.771 Terme. Eine stabile Regression erfordert in der Regel mehr Trainingspunkte als Koeffizienten, so dass der Rechenbedarf schnell unpraktisch werden kann.<\/p>\n<p>Die Anzahl der Parameter allein ist nicht das vollst\u00e4ndige Problem. Ein nominell hochdimensionales Modell kann immer noch eine geringe effektive Dimension haben, wenn nur wenige Parameter oder Wechselwirkungen die Antwort steuern.<\/p>\n<h2>Sp\u00e4rliches Polynom-Chaos<\/h2>\n<p>Sparse PCE reduziert die Anzahl der Kandidaten-Basisbedingungen oder w\u00e4hlt nur Begriffe aus, die von den verf\u00fcgbaren Daten unterst\u00fctzt werden.<\/p>\n<p>Gemeinsame Ans\u00e4tze sind:<\/p>\n<ul>\n<li>hyperbolische Verk\u00fcrzung, die Interaktionsbegriffe h\u00f6herer Ordnung bestraft<\/li>\n<li>Regression der kleinsten Winkel<\/li>\n<li>Lasso oder eine andere regulierte Regression<\/li>\n<li>Kompressionsgef\u00fchl<\/li>\n<li>Adaptive Basis-Anreicherung<\/li>\n<li>smolyak sp\u00e4rliche quadraturgitter<\/li>\n<\/ul>\n<p>Sparse-Methoden k\u00f6nnen PCE auf gr\u00f6\u00dfere Parameters\u00e4tze erweitern, beseitigen jedoch nicht automatisch Dimensionalit\u00e4tsprobleme. Ihr Erfolg h\u00e4ngt von Koeffizientensparsit\u00e4t und Interaktionen niedriger Ordnung ab.<\/p>\n<p>Der <a href=\"https:\/\/www.ptb.de\/emrp\/fileadmin\/documents\/nmasatue\/NEW04\/Papers\/BPG-WP2-NEW04.pdf\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\"> PTB Best-Practice-Leitfaden <\/a> diskutiert Polynom-Chaos, sp\u00e4rliche Gitter und Dimensionalit\u00e4ts\u00fcberlegungen in der Unsicherheitsanalyse.<\/p>\n<h2>Statistik und Sensibilit\u00e4t von PCE<\/h2>\n<p>Wenn die Basis orthonormal ist, k\u00f6nnen Ausgangsmomente direkt aus den Ausdehnungskoeffizienten erhalten werden.<\/p>\n<p>Der konstante Koeffizient gibt den Mittelwert an:<\/p>\n<pre><code>E[Y] = c\u2080<\/code><\/pre>\n<p>Die Varianz ist die Summe der quadratischen nicht konstanten Koeffizienten:<\/p>\n<pre><code>Var[Y] = \u03a3 c\u2096\u00b2<\/code><\/pre>\n<p>SOBOL-Indizes k\u00f6nnen berechnet werden, indem Koeffizienten gem\u00e4\u00df den in jedem Polynombegriffen vorhandenen Variablen gruppiert werden. Dies erfordert keine zus\u00e4tzlichen aufwendigen Auswertungen der Originalsimulation nach der Montage der PCE.<\/p>\n<p>Die Sensitivit\u00e4tsberechnung ist kosteng\u00fcnstig, aber die PCE selbst muss zuerst gezeigt werden, um das Modell genau zu approximieren.<\/p>\n<h2>Stochastische Kollokation<\/h2>\n<p>Die stochastische Kollokation bewertet den deterministischen Simulator an ausgew\u00e4hlten Punkten im Unsicherheitsraum und konstruiert eine interpolierende oder projektionsbasierte Approximation.<\/p>\n<p>Gau\u00dfsche Quadratur kann in niedrigen Abmessungen gut funktionieren. Sp\u00e4rliche Gitter reduzieren das Wachstum der Anzahl der mehrdimensionalen Punkte. Adaptive Gitter hinzuf\u00fcgen Punkte, bei denen die Antwort eine gr\u00f6\u00dfere Aufl\u00f6sung erfordert.<\/p>\n<p>Gew\u00f6hnliche Sobol- oder lateinische Hyperw\u00fcrfelproben sind f\u00fcr Regressions-basierte Surrogate n\u00fctzlich, sollten jedoch nicht mit klassischen Quadratur-Kollokationsregeln verwechselt werden.<\/p>\n<h2>Surrogate-basiertes UQ<\/h2>\n<p>Wenn eine High-Fidelity-Simulation Stunden oder Tage dauert, kann ein Ersatz erforderlich sein. Ein Ersatz wird auf eine begrenzte Anzahl teurer Simulationen trainiert und dann w\u00e4hrend der Unsicherheitsausbreitung billig bewertet.<\/p>\n<p>Gemeinsame Entscheidungen sind:<\/p>\n<ul>\n<li>Polynom-Antwortoberfl\u00e4chen<\/li>\n<li>Polynom-Chaos-Erweiterungen<\/li>\n<li>Gau\u00dfsche Prozesse oder Kriging-Modelle<\/li>\n<li>radiale Basisfunktionen<\/li>\n<li>Modelle mit reduzierter Ordnung<\/li>\n<li>Neural-Netzwerk-Surrogate<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ein Ersatz f\u00fcgt eine neue Unsicherheit hinzu. Quelle: Approximationsfehler. Es muss an Punkten validiert werden, die w\u00e4hrend des Trainings nicht verwendet wurden.<\/p>\n<p>Der <a href=\"https:\/\/matforge.org\/machine-learning-surrogates-scientific-simulations\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Maschine-Learning-Surrogate-Anleitung <\/a> erl\u00e4utert die Auswahl und Validierung der Modelle ausf\u00fchrlicher.<\/p>\n<h2>Lokale und globale Sensitivit\u00e4tsanalyse<\/h2>\n<p>Lokale Sensitivit\u00e4tsanalyse untersucht Derivate in der N\u00e4he eines Referenzzustands:<\/p>\n<pre><code>\u2202Y \/ \u2202X\u1d62<\/code><\/pre>\n<p>Es ist n\u00fctzlich f\u00fcr gradientenbasierte Optimierung, Kalibrierung und kleine St\u00f6rungen. Es kann nichtlineares Verhalten und Interaktionen an anderer Stelle im Parameterraum \u00fcbersehen.<\/p>\n<p>Die globale Sensitivit\u00e4tsanalyse variiert die Eingaben \u00fcber ihre vollst\u00e4ndig zugewiesenen Bereiche oder Verteilungen. Es eignet sich besser f\u00fcr nichtlineare Modelle und Unsicherheitszuordnung.<\/p>\n<h2>SOBOL-Sensitivit\u00e4tsindizes<\/h2>\n<p>Die SOBOL-Analyse zerlegt die Ausgabevarianz in Beitr\u00e4ge von einzelnen Parametern und deren Wechselwirkungen.<\/p>\n<p>Der Index erster Ordnung ist:<\/p>\n<pre><code>S\u1d62 =\nVar(E[Y | X\u1d62])\n\/ Var(Y)<\/code><\/pre>\n<p>Es misst allein die Varianz, die durch Parameter <code>X\u1d62<\/code>  erkl\u00e4rt wird.<\/p>\n<p>Der Total-Order-Index enth\u00e4lt den Parameter und jede damit verbundene Interaktion:<\/p>\n<pre><code>S_T\u1d62 =\n1 - Var(E[Y | X\u208b\u1d62])\n    \/ Var(Y)<\/code><\/pre>\n<p>Ein gro\u00dfer Unterschied zwischen Indizes der Gesamtordnung und der ersten Ordnung legt nahe, dass Interaktionen wichtig sind.<\/p>\n<p>Die klassische SOBOL-Zerlegung geht normalerweise von unabh\u00e4ngigen Eingangsvariablen aus. Abh\u00e4ngige Eingaben erfordern modifizierte Methoden oder Transformationen, und ihre Indizes m\u00fcssen unterschiedlich interpretiert werden.<\/p>\n<h2>Morris-Screening<\/h2>\n<p>Die Morris-Methode ist eine wirtschaftliche Screening-Technik. Es berechnet elementare Effekte entlang mehrerer Trajektorien im Eingaberaum.<\/p>\n<p>Zwei g\u00e4ngige Zusammenfassungen sind:<\/p>\n<ul>\n<li><code>\u03bc*<\/code>, der mittlere absolute elementare Effekt, der als Wichtigkeitsma\u00df verwendet wird<\/li>\n<li><code>\u03c3<\/code>, die Ausbreitung der Effekte, die auf Nichtlinearit\u00e4t, Wechselwirkungen oder beides hinweist<\/li>\n<\/ul>\n<p>Morris bietet keine direkte Zerlegung der Ausgangsvarianz. Sein Zweck ist es, eindeutig unwichtige Eingaben von Parametern zu trennen, die eine detailliertere Analyse erfordern.<\/p>\n<h2>Schnelle und andere Methoden<\/h2>\n<p>Der Fourier-Amplitudenempfindlichkeitstest weist der Eingangsvariation Frequenzen zu und sch\u00e4tzt Varianzbeitr\u00e4ge aus dem Fourier-Spektrum der Modellantwort.<\/p>\n<p>Andere Methoden dienen anderen Zielen:<\/p>\n<ul>\n<li>RBD-Fast f\u00fcr effiziente Analyse erster Ordnung<\/li>\n<li>Pfand f\u00fcr verteilungsbasierte Empfindlichkeit<\/li>\n<li>Delta-momentunabh\u00e4ngige Ma\u00dfnahmen<\/li>\n<li>Derivatebasierte globale Sensitivit\u00e4tsma\u00dfnahmen<\/li>\n<li>Standardisierte Regressionskoeffizienten f\u00fcr ann\u00e4hernd lineare Modelle<\/li>\n<\/ul>\n<p>Kein Sensitivit\u00e4tsma\u00df ist universell am besten. Die Methode sollte mit den Modellkosten, der Abh\u00e4ngigkeitsstruktur, der Nichtlinearit\u00e4t und der wissenschaftlichen Frage \u00fcbereinstimmen.<\/p>\n<h2>Python-Tools f\u00fcr UQ und Empfindlichkeit<\/h2>\n<table class=\"custom-table\">\n<tbody><tr>\n<th>Bibliothek<\/th>\n<th>Hauptfokus<\/th>\n<th>Typische Verwendung<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><a href=\"https:\/\/uqpyproject.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Uqpy<\/a><\/td>\n<td>Allgemeine Unsicherheitsmethoden<\/td>\n<td>Probenahme, Zuverl\u00e4ssigkeit, PCE, Surrogate, Empfindlichkeit und stochastische Prozesse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><a href=\"https:\/\/chaospy.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Chaospy<\/a><\/td>\n<td>Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Polynom-Chaos<\/td>\n<td>Orthogonale Erweiterungen, Quadratur, Regression, Momente und SOBOL-Indizes<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><a href=\"https:\/\/salib.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Salib<\/a><\/td>\n<td>Globale Sensitivit\u00e4tsanalyse<\/td>\n<td>Sobol, Morris, Fast, RBD-Fast, Pawn, Delta und verwandte Methoden<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><a href=\"https:\/\/smt.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">smt<\/a><\/td>\n<td>Ersatzmodellierung<\/td>\n<td>Kriging, radiale Basisfunktionen, Polynommodelle, Derivate und Multi-Fidelity-Methoden<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><a href=\"https:\/\/uncertainpy.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Unsicherheit<\/a><\/td>\n<td>Black-Box-UQ- und Funktionsanalyse<\/td>\n<td>PCE, Quasi-Monte Carlo, Empfindlichkeit und abh\u00e4ngige Parametertransformationen<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody><\/table>\n<p>Das \u00d6kosystem ist eher spezialisiert als streng All-in-One. Ein Projekt kann Salib f\u00fcr das Screening, Chaospy oder UQPY f\u00fcr PCE und SMT f\u00fcr einen teuren Modell-Surrogat verwenden.<\/p>\n<h2>Ein PCE-Beispiel mit Chaospy<\/h2>\n<p>Das folgende Beispiel passt zu einer polynomialen Approximation eines Zwei-Eingangsmodells durch Regression:<\/p>\n<pre><code class=\"language-python\">import chaospy as cp\nimport numpy as np\n\n# Independent uncertain parameters\ndistribution = cp.J(\n    cp.Uniform(0.8, 1.2),\n    cp.Normal(2.0, 0.1)\n)\n\n# Total-degree polynomial basis\norder = 3\nexpansion = cp.generate_expansion(\n    order,\n    distribution\n)\n\n# Experimental design\nsample_count = 100\nsamples = distribution.sample(\n    sample_count,\n    rule=\"sobol\"\n)\n\ndef model(sample):\n    conductivity = sample[0]\n    source_strength = sample[1]\n\n    return (\n        source_strength\n        \/ conductivity\n        + 0.2 * conductivity ** 2\n    )\n\nevaluations = np.array([\n    model(samples[:, index])\n    for index in range(sample_count)\n])\n\n# Fit non-intrusive PCE by regression\napproximation = cp.fit_regression(\n    expansion,\n    samples,\n    evaluations\n)\n\nmean = cp.E(\n    approximation,\n    distribution\n)\n\nvariance = cp.Var(\n    approximation,\n    distribution\n)\n\nfirst_order = cp.Sens_m(\n    approximation,\n    distribution\n)\n\ntotal_order = cp.Sens_t(\n    approximation,\n    distribution\n)\n\nprint(\"Mean:\", float(mean))\nprint(\"Standard deviation:\", float(np.sqrt(variance)))\nprint(\"First-order Sobol indices:\", first_order)\nprint(\"Total-order Sobol indices:\", total_order)<\/code><\/pre>\n<p>Diese Berechnung ist nur dann aussagekr\u00e4ftig, nachdem die Polynom-N\u00e4herung an unabh\u00e4ngigen Validierungsproben \u00fcberpr\u00fcft wurde.<\/p>\n<h2>Ein Sobol-Beispiel mit Salib<\/h2>\n<pre><code class=\"language-python\">import numpy as np\n\nfrom SALib.sample import sobol as sobol_sample\nfrom SALib.analyze import sobol as sobol_analyze\n\nproblem = {\n    \"num_vars\": 3,\n    \"names\": [\n        \"conductivity\",\n        \"heat_capacity\",\n        \"source_strength\"\n    ],\n    \"bounds\": [\n        [0.8, 1.2],\n        [0.9, 1.1],\n        [1.5, 2.5]\n    ]\n}\n\nparameter_values = sobol_sample.sample(\n    problem,\n    N=1024,\n    calc_second_order=False,\n    seed=42\n)\n\ndef model(parameters):\n    conductivity = parameters[0]\n    heat_capacity = parameters[1]\n    source_strength = parameters[2]\n\n    return (\n        source_strength\n        \/ (conductivity * heat_capacity)\n        + 0.1 * conductivity ** 2\n    )\n\noutputs = np.array([\n    model(parameters)\n    for parameters in parameter_values\n])\n\nindices = sobol_analyze.analyze(\n    problem,\n    outputs,\n    calc_second_order=False,\n    print_to_console=False\n)\n\nfor index, name in enumerate(problem[\"names\"]):\n    print(name)\n    print(\"  First order:\", indices[\"S1\"][index])\n    print(\"  Total order:\", indices[\"ST\"][index])<\/code><\/pre>\n<p>Die von einem SoBol-Design verwendete Probenzahl ist gr\u00f6\u00dfer als der Basiswert <code>N<\/code>. Dies h\u00e4ngt von der Anzahl der Variablen ab und davon, ob Indizes zweiter Ordnung angefordert werden.<\/p>\n<h2>Validierung eines Ersatzes oder PCE<\/h2>\n<p>Ein Leihmutterschaft sollte nicht nur anhand seines Trainingsfehlers beurteilt werden. Verwenden Sie unabh\u00e4ngige Validierungspunkte und untersuchen Sie:<\/p>\n<ul>\n<li>Root Mean quadratischer Fehler<\/li>\n<li>Maximaler Fehler<\/li>\n<li>relativer Fehler nahe wichtiger Schwellenwerte<\/li>\n<li>Abdeckung von vorhergesagten Intervallen<\/li>\n<li>Restmuster<\/li>\n<li>Genauigkeit von Momenten und Quantilen<\/li>\n<li>Stabilit\u00e4t von Sensitivit\u00e4tsrankings<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Kreuzvalidierung kann die Modellauswahl unterst\u00fctzen, aber ein endg\u00fcltiger unber\u00fchrter Testsatz bleibt wertvoll.<\/p>\n<p>Wenn ein Ersatz in einem kleinen Bereich mit hoher Ausfallwahrscheinlichkeit oder Sicherheitsfolgen ungenau ist, kann ein niedriger globaler mittlerer Fehler immer noch inakzeptabel sein.<\/p>\n<h2>Auswahl einer Methode<\/h2>\n<table class=\"custom-table\">\n<tbody><tr>\n<th>Modellcharakteristik<\/th>\n<th>M\u00f6glicher Ausgangspunkt<\/th>\n<th>Hauptvorsicht<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Reibungslose Reaktion mit wenigen einflussreichen Parametern<\/td>\n<td>PCE oder stochastische Kollokation<\/td>\n<td>Validierung der Polynomreihenfolge und des experimentellen Designs<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Moderate nominale Dimension mit sp\u00e4rlichen Wechselwirkungen<\/td>\n<td>sp\u00e4rliches PCE oder adaptives sp\u00e4rliches Gitter<\/td>\n<td>Sparsamkeit muss eher demonstriert als angenommen werden<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Diskontinuierliche oder Schwellenantwort<\/td>\n<td>Monte Carlo, randomisierter QMC oder ein lokaler Ersatz<\/td>\n<td>Globale Polynome k\u00f6nnen schlecht konvergieren<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Sehr teurer Simulator<\/td>\n<td>Kriging, Modell mit reduzierter Ordnung oder Multi-Fidelity-Surrogat<\/td>\n<td>Surrogat-Fehler in die Analyse einbeziehen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Viele Eingaben, die anf\u00e4ngliches Ranking erfordern<\/td>\n<td>Morris-Screening<\/td>\n<td>Ergebnisse sind eher qualitative als Varianzanteile<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Ben\u00f6tigen Sie eine quantitative Varianzattribution<\/td>\n<td>Sobol oder schnell<\/td>\n<td>Stichprobenkosten k\u00f6nnen hoch sein<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>stark abh\u00e4ngige Parameter<\/td>\n<td>Abh\u00e4ngigkeitsbewusste Sampling- und Sensitivit\u00e4tsmethoden<\/td>\n<td>Klassische Input-Input-SOBOL-Interpretation kann scheitern<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Schlecht charakterisierte epistemische Unsicherheit<\/td>\n<td>Intervalle, Ensembles oder ungenaue Wahrscheinlichkeitsmethoden<\/td>\n<td>Eine genaue Verteilung kann nicht unterst\u00fctztes Wissen implizieren<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody><\/table>\n<h2>H\u00e4ufige Fehler<\/h2>\n<ul>\n<li>Beginnen Sie mit einer gro\u00dfen UQ-Kampagne, bevor Sie die numerische Konvergenz \u00fcberpr\u00fcfen<\/li>\n<li>Zuweisung von Aussch\u00fcttungen ohne Daten oder dokumentiertes Gutachten<\/li>\n<li>Behandlung der aleatorischen und epistemischen Unsicherheit als austauschbar<\/li>\n<li>Ignorieren der Unsicherheit der Modellform<\/li>\n<li>Verwenden einer vollst\u00e4ndigen Polynombasis in einem hochdimensionalen Problem, ohne die Basisgr\u00f6\u00dfe zu \u00fcberpr\u00fcfen<\/li>\n<li>Angenommen, dass sp\u00e4rliche PCE f\u00fcr jedes Modell mit 20 oder 50 Parametern funktioniert<\/li>\n<li>Berichterstattung von PCE-Momenten ohne Validierung des Ersatzes<\/li>\n<li>Verwendung klassischer SOBOL-Indizes f\u00fcr abh\u00e4ngige Eingaben ohne Modifikation<\/li>\n<li>Verwirrende Morris-Screening-Ma\u00dfnahmen mit Varianzbeitr\u00e4gen<\/li>\n<li>Sensitivit\u00e4tsindizes ohne Konfidenzintervalle melden<\/li>\n<li>Verwerfen fehlgeschlagener Simulationen ohne Untersuchung der Fehlerregion<\/li>\n<li>Mischen von Stichprobenfehlern, Ersatzfehlern und numerischer Diskretisierungsfehler<\/li>\n<li>Reporting einer universellen Beschleunigung f\u00fcr eine UQ-Methode<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Eine reproduzierbare UQ-Kampagne<\/h2>\n<p>Eine publikationsf\u00e4hige Studie sollte aufzeichnen:<\/p>\n<ul>\n<li>Modell- und Softwareversionen<\/li>\n<li>Eingabeverteilungen, Grenzen, Korrelationen und Belege<\/li>\n<li>Zuf\u00e4llige Samen und Probenahmemethode<\/li>\n<li>Anzahl der Proben oder Trainingssimulationen<\/li>\n<li>Polynomordnung oder Ersatz-Hyperparameter<\/li>\n<li>Regressions- und Regularisierungsmethode<\/li>\n<li>Validierungsdesign<\/li>\n<li>Solver-Fehler und ausgeschlossene L\u00e4ufe<\/li>\n<li>Konfidenzintervalle f\u00fcr gesch\u00e4tzte Statistiken<\/li>\n<li>Konvergenzpr\u00fcfungen f\u00fcr Momente und Sensitivit\u00e4tsindizes<\/li>\n<\/ul>\n<p>Der <a href=\"https:\/\/matforge.org\/reproducible-parameter-sweeps-designing-simulation-campaigns-for-publication\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Reproduzierbare Parameter-Sweep-Leitfaden <\/a> bietet eine n\u00fctzliche Struktur f\u00fcr die Planung und Dokumentation dieser Kampagnen.<\/p>\n<h2>Beispiel f\u00fcr Materialmodellierung<\/h2>\n<p>Betrachten Sie ein Phasenfeldmodell mit unsicherer Mobilit\u00e4t, Grenzfl\u00e4chenenergie, Diffusivit\u00e4t, anf\u00e4nglicher Zusammensetzung und Abk\u00fchlungsrate.<\/p>\n<p>Ein praktischer Arbeitsablauf k\u00f6nnte sein:<\/p>\n<ol>\n<li>\u00dcberpr\u00fcfen Sie die r\u00e4umliche und zeitliche Konvergenz des deterministischen L\u00f6sers.<\/li>\n<li>Definieren Sie Verteilungen aus Experimenten oder Literatur.<\/li>\n<li>Verwenden Sie Morris Screening, um einflussreiche Parameter zu identifizieren.<\/li>\n<li>Erstellen Sie einen PCE- oder Kriging-Surrogat mit dem reduzierten Eingabesatz.<\/li>\n<li>Validieren Sie den Ersatz gegen unabh\u00e4ngige Phasenfeldl\u00e4ufe.<\/li>\n<li>Sch\u00e4tzen Sie die Unsicherheit in Korngr\u00f6\u00dfe, Phasenanteil oder Erstarrungszeit ab.<\/li>\n<li>Berechnen Sie Sobol-Indizes.<\/li>\n<li>Priorisieren Sie neue Messungen f\u00fcr die Parameter, die die gr\u00f6\u00dfte Varianz steuern.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Die <a href=\"https:\/\/matforge.org\/introduction-to-materials-modeling-for-beginners\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Einf\u00fchrung in die Materialmodellierung<\/a> Hintergrund zu den Rechenmodellen, die in einen solchen Workflow eingebettet werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<h2>Verwandte Anleitungen<\/h2>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/matforge.org\/monte-carlo-methods-for-scientific-simulations\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Monte Carlo-Methoden f\u00fcr wissenschaftliche Simulationen<\/a> - Vergleichen Sie Zufallsstichproben, QMC, LHS und Konvergenzverhalten.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/matforge.org\/verification-vs-validation-in-scientific-simulations-a-practical-guide\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Verifikation Vs. Validierung in wissenschaftlichen Simulationen <\/a> - Platzieren Sie UQ in einem vollst\u00e4ndigen Modellglaubw\u00fcrdigkeitsprozess.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/matforge.org\/reproducible-parameter-sweeps-designing-simulation-campaigns-for-publication\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Reproduzierbare Parameter-Sweeps <\/a> - Planen Sie Simulationskampagnen und bewahren Sie vollst\u00e4ndige experimentelle Aufzeichnungen auf.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/matforge.org\/machine-learning-surrogates-scientific-simulations\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Maschinenlern-Surrogate f\u00fcr wissenschaftliche Simulationen <\/a> - Erstellen und validieren Sie kosteng\u00fcnstige Ann\u00e4herungen kostspieliger Modelle.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/matforge.org\/when-to-use-fem-fvm-fdm\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Wann verwendet werden FEM, FVM oder FDM<\/a> \u2014 W\u00e4hlen Sie die deterministische numerische Methode aus, die der UQ-Studie zugrunde liegt.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>weiterlesen<\/h2>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.asme.org\/codes-standards\/publications-information\/verification-validation-uncertainty\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">ASME-\u00dcberpr\u00fcfung, Validierung und Unsicherheitsquantifizierung<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.nationalacademies.org\/read\/13395\/chapter\/9\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Nationale Akademien: Unsicherheitsquantifizierung<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.ptb.de\/emrp\/fileadmin\/documents\/nmasatue\/NEW04\/Papers\/BPG-WP2-NEW04.pdf\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">PTB Best-Practice-Leitfaden zur Quantifizierung der Unsicherheit<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/uqpyproject.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">UQPY-Dokumentation<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/chaospy.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Chaospy-Dokumentation<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/salib.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Salib-Dokumentation<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/smt.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Surrogate-Modellierungs-Toolbox-Dokumentation<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/uncertainpy.readthedocs.io\/\" rel=\"nofollow noopener\" target=\"_blank\">Unsichere Dokumentation<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h2>Schlussfolgerung<\/h2>\n<p>Die Unsicherheitsquantifizierung wandelt unsichere Simulationseingaben in Verteilungen, Intervalle oder Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr vorhergesagte Ausgaben um. Die Sensitivit\u00e4tsanalyse erkl\u00e4rt, welche Eingaben und Interaktionen f\u00fcr diese Ergebnisse verantwortlich sind.<\/p>\n<p>Monte Carlo bleibt die allgemeinste Vermehrungsmethode. Polynom-Chaos und stochastische Kollokation k\u00f6nnen f\u00fcr glatte Modelle mit niedrigem Wirkungsgrad effizienter sein. Sparse-Erweiterungen und Ersatzmodelle k\u00f6nnen diese Methoden auf teurere oder m\u00e4\u00dfig h\u00f6herdimensionale Anwendungen erweitern, erfordern jedoch eine sorgf\u00e4ltige Validierung.<\/p>\n<p>Sobol-Indizes bieten eine quantitative Varianzattribution, w\u00e4hrend Morris ein wirtschaftliches Fr\u00fchstadium-Screening bietet. Salib, UQPY, Chaospy, SMT und Ungewissheit unterst\u00fctzen verschiedene Teile dieses Workflows und nicht eine identische Reihe von Funktionen.<\/p>\n<p>Eine glaubw\u00fcrdige UQ-Studie beginnt vor der Probenahme. Es identifiziert Unsicherheitsquellen, \u00fcberpr\u00fcft die numerische Konvergenz, begr\u00fcndet Verteilungen, validiert Surrogate, misst den Sch\u00e4tzfehler und meldet jede wichtige Annahme.<\/p>\n<p>Der Zweck besteht nicht darin, Fehlerbalken mechanisch anzubringen. Es geht darum zu verstehen, was die Vorhersage steuert, wie viel Vertrauen die verf\u00fcgbaren Beweise unterst\u00fctzen und welche Ma\u00dfnahmen die Unsicherheit am effektivsten verringern w\u00fcrden.<\/p>\n<\/article>\n"},"excerpt":{"rendered":"<p><span class=\"span-reading-time rt-reading-time\" style=\"display: block;\"><span class=\"rt-label rt-prefix\">Reading Time: <\/span> <span class=\"rt-time\"> 10<\/span> <span class=\"rt-label rt-postfix\">minutes<\/span><\/span>Lernen Sie die Erweiterung des Polynom-Chaos, die Sensitivit\u00e4tsindizes von SOBOL, die Surrogate-UQ-Methoden und das Python-\u00d6kosystem. Ein praktischer Leitfaden f\u00fcr Computerforscher.<\/p>\n","protected":false,"raw":"Lernen Sie die Erweiterung des Polynom-Chaos, die Sensitivit\u00e4tsindizes von SOBOL, die Surrogate-UQ-Methoden und das Python-\u00d6kosystem. 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