{"id":525,"date":"2026-07-21T14:54:13","date_gmt":"2026-07-21T14:54:13","guid":{"rendered":"https:\/\/matforge.org\/?p=525","raw":"https:\/\/matforge.org\/?p=525"},"modified":"2026-07-21T14:54:13","modified_gmt":"2026-07-21T14:54:13","slug":"adaptive-time-stepping-pde-solvers","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matforge.org\/es\/adaptive-time-stepping-pde-solvers\/","title":{"rendered":"Paso de tiempo adaptativo para solucionadores PDE: estimaci\u00f3n de errores y CFL","raw":"Paso de tiempo adaptativo para solucionadores PDE: estimaci\u00f3n de errores y CFL"},"content":{"rendered":"Reading Time: <\/span> 13<\/span> minutes<\/span><\/span>
\n

Paso de tiempo adaptativo Cambia el tama\u00f1o del paso de tiempo durante una simulaci\u00f3n. El solucionador toma pasos m\u00e1s peque\u00f1os cuando la soluci\u00f3n cambia r\u00e1pidamente y pasos m\u00e1s grandes cuando la evoluci\u00f3n se vuelve suave.<\/p>\n

Un c\u00e1lculo de paso fijo debe usar un valor de \u0394t<\/code> a lo largo de toda la simulaci\u00f3n. Ese valor a menudo se selecciona de acuerdo con el evento m\u00e1s exigente, transitorio o restricci\u00f3n de estabilidad. Luego se usa el mismo peque\u00f1o paso durante largos intervalos donde es innecesario.<\/p>\n

Un m\u00e9todo adaptativo estima el error de cada paso propuesto. Acepta el paso cuando el error normalizado est\u00e1 por debajo de la tolerancia solicitada y lo rechaza cuando el error es demasiado grande. Luego, un controlador selecciona un nuevo tama\u00f1o de paso.<\/p>\n

El control de errores es solo una parte del proceso. Los m\u00e9todos expl\u00edcitos a\u00fan deben respetar los l\u00edmites de CFL y de difusi\u00f3n. Los m\u00e9todos impl\u00edcitos pueden necesitar restricciones de precisi\u00f3n, convergencia no lineal, resoluci\u00f3n de onda, eventos o restricciones f\u00edsicas. Un solucionador confiable combina estos requisitos en lugar de permitir que una estimaci\u00f3n de error controle todo.<\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 es el paso de tiempo adaptativo?<\/h2>\n

Despu\u00e9s de la discretizaci\u00f3n espacial, una PDE dependiente del tiempo se convierte com\u00fanmente en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:<\/p>\n

du\/dt = F(t, u)<\/code><\/pre>\n
Un m\u00e9todo num\u00e9rico avanza la soluci\u00f3n de t\u207f<\/code> a:<\/p>\n
t\u207f\u207a\u00b9 = t\u207f + \u0394t<\/code><\/pre>\n
Un solucionador adaptativo sigue un ciclo de aceptaci\u00f3n o rechazo:<\/p>\n
    \n
  1. Proponer un paso de tiempo.<\/li>\n
  2. Calcular una soluci\u00f3n de prueba.<\/li>\n
  3. Estimar el error temporal local.<\/li>\n
  4. Normalice el error utilizando tolerancias absolutas y relativas.<\/li>\n
  5. aceptar o rechazar el paso de prueba.<\/li>\n
  6. Seleccione el siguiente tama\u00f1o de paso.<\/li>\n<\/ol>\n
    Los pasos rechazados no adelantan el tiempo de simulaci\u00f3n. El solucionador restaura el estado aceptado anterior y repite el c\u00e1lculo con un valor menor de \u0394t<\/code>.<\/p>\n
    Error local y error global<\/h2>\n
    El error de truncamiento local es el error introducido en un paso de tiempo cuando el paso comienza desde la soluci\u00f3n exacta.<\/p>\n
    El error global es la diferencia acumulada entre las soluciones num\u00e9ricas y exactas despu\u00e9s de muchos pasos.<\/p>\n
    Para un m\u00e9todo de orden p<\/code>:<\/p>\n
    Local truncation error = O(\u0394t^(p+1))\n\nGlobal error = O(\u0394t^p)<\/code><\/pre>\n
    Los m\u00e9todos adaptativos normalmente estiman el error local. Mantener cada estimaci\u00f3n local por debajo de una tolerancia no proporciona un l\u00edmite riguroso universal sobre el error global, pero ofrece un efectivo mecanismo de control pr\u00e1ctico.<\/p>\n
    Tolerancias absolutas y relativas<\/h2>\n
    Un valor de error bruto tiene poco significado sin la escala de cada componente de la soluci\u00f3n. Por lo tanto, los solucionadores adaptativos calculan un error normalizado.<\/p>\n
    Una escala de componentes comunes es:<\/p>\n
    scale\u1d62 =\natol\u1d62\n+\nrtol \u00d7 max(\n    |u\u1d62\u207f|,\n    |u\u1d62(trial)|\n)<\/code><\/pre>\n
    El error cuadrado medio ponderado normalizado es:<\/p>\n
    E =\nsqrt(\n    1 \/ m\n    \u00d7 \u03a3 [\n        error\u1d62 \/ scale\u1d62\n      ]\u00b2\n)<\/code><\/pre>\n
    El paso se acepta normalmente cuando:<\/p>\n
    E \u2264 1<\/code><\/pre>\n
    La tolerancia absoluta controla los componentes cerca de cero. La tolerancia relativa controla componentes cuyas magnitudes son grandes en comparaci\u00f3n con atol<\/code>.<\/p>\n
    Diferentes campos pueden requerir diferentes tolerancias absolutas. Una temperatura medida en cientos de Kelvin no deber\u00eda usar necesariamente la misma tolerancia absoluta que una concentraci\u00f3n cercana a 10\u207b\u2079<\/code>.<\/p>\n
    C\u00f3mo se selecciona el siguiente paso<\/h2>\n
    Si el error local estimado se comporta como:<\/p>\n
    error \u221d \u0394t^(p+1)<\/code><\/pre>\n
    Un controlador b\u00e1sico puede usar:<\/p>\n
    \u0394t(new) =\nsafety\n\u00d7 \u0394t(old)\n\u00d7 E^(-1\/(p+1))<\/code><\/pre>\n
    El factor de seguridad es menor que uno. Reduce la posibilidad de que el siguiente paso se sit\u00fae directamente en el l\u00edmite de rechazo.<\/p>\n
    Las implementaciones de producci\u00f3n tambi\u00e9n limitan los cambios de tama\u00f1o de paso:<\/p>\n
    growth_min\n\u2264\n\u0394t(new) \/ \u0394t(old)\n\u2264\ngrowth_max<\/code><\/pre>\n
    El exponente correcto depende del orden representado por el estimador de error y la convenci\u00f3n del controlador. No debe copiarse a ciegas entre m\u00e9todos no relacionados.<\/p>\n
    Controladores I, PI y PID<\/h2>\n
    Un controlador integral simple utiliza solo el error normalizado actual. Esto puede hacer que el historial de pasos de tiempo alterna entre aumentos agresivos y rechazos.<\/p>\n
    Los controladores PI y PID tambi\u00e9n usan errores de pasos anteriores aceptados. Esto produce cambios de tama\u00f1o de paso m\u00e1s suaves y puede reducir las tasas de rechazo.<\/p>\n
    Un controlador de PI simplificado tiene el formulario:<\/p>\n
    \u0394t(n+1) =\nsafety\n\u00d7 \u0394t(n)\n\u00d7 E(n)^(-k\u2081)\n\u00d7 E(n-1)^(k\u2082)<\/code><\/pre>\n
    Los coeficientes dependen del orden del m\u00e9todo y el dise\u00f1o del controlador. El control sofisticado es \u00fatil, pero no puede reparar un estimador de error inexacto o un integrador de tiempo inadecuado.<\/p>\n
    Pares de Runge-Kutta integrados<\/h2>\n
    Un par incrustado de Runge-Kutta calcula dos aproximaciones a partir del mismo conjunto de etapas intermedias.<\/p>\n
    Las dos f\u00f3rmulas tienen diferentes \u00f3rdenes:<\/p>\n
    u(high) =\nu\u207f\n+\n\u0394t \u03a3 b\u1d62 k\u1d62\n\nu(low) =\nu\u207f\n+\n\u0394t \u03a3 b\u0302\u1d62 k\u1d62<\/code><\/pre>\n
    La diferencia proporciona una estimaci\u00f3n de error:<\/p>\n
    e =\nu(high)\n-\nu(low)<\/code><\/pre>\n
    Debido a que ambas f\u00f3rmulas comparten sus evaluaciones de etapa, el estimador es mucho m\u00e1s barato que completar dos integraciones independientes.<\/p>\n
    Los m\u00e9todos incrustados expl\u00edcitos de Runge-Kutta son los m\u00e1s adecuados para los sistemas no r\u00edgidos. Si la rigidez controla el tama\u00f1o del paso, aumentando o disminuyendo \u0394t<\/code><\/p>\n
    Pr\u00edncipe 5(4)<\/h2>\n
    Dormand-Prince 5(4) es un par incrustado de siete etapas. Produce una soluci\u00f3n de quinto orden y una estimaci\u00f3n de error de cuarto orden.<\/p>\n
    El par utiliza extrapolaci\u00f3n local: la aproximaci\u00f3n de quinto orden se convierte en la soluci\u00f3n aceptada, mientras que la f\u00f3rmula de orden inferior controla el paso.<\/p>\n
    Tambi\u00e9n tiene una propiedad FSAL en uso ordinario. La \u00faltima evaluaci\u00f3n derivada de un paso aceptado puede convertirse en la primera evaluaci\u00f3n del siguiente paso, reduciendo el n\u00famero de nuevas evaluaciones de funciones despu\u00e9s del inicio.<\/p>\n
    Dormand-Pr\u00edncipe es utilizado por RK45<\/code> de Scipy y ode45<\/code> de Matlab. Es una fuerte elecci\u00f3n de prop\u00f3sito general para problemas de valor inicial no r\u00edgidos y suaves.<\/p>\n
    tsit5<\/h2>\n
    TSIT5 es el m\u00e9todo de Runge-Kutta integrado Tsitouras 5(4). Es ampliamente utilizado en el ecosistema SCIML como m\u00e9todo predeterminado para problemas no r\u00edgidos en tolerancias ordinarias.<\/p>\n
    El m\u00e9todo est\u00e1 dise\u00f1ado para proporcionar un equilibrio favorable entre la calidad de la estimaci\u00f3n de errores, el costo de la etapa y la eficiencia pr\u00e1ctica.<\/p>\n
    sigue siendo un m\u00e9todo expl\u00edcito. Si una PDE semidiscreta es r\u00edgida debido a la difusi\u00f3n, las reacciones o las escalas de tiempo fuertemente separadas, un m\u00e9todo impl\u00edcito, Rosenbrock, BDF o IMEX pueden ser m\u00e1s eficientes.<\/p>\n
    Bogacki-Shammine 3(2)<\/h2>\n
    Bogacki-Shampin 3(2) es un par incrustado de cuatro etapas. Proporciona una soluci\u00f3n aceptada de tercer orden con un estimador de error de segundo orden.<\/p>\n
    Se implementa como RK23<\/code> en scipy y subyace al ode23<\/code> de Matlab.<\/p>\n
    El par puede ser \u00fatil cuando la precisi\u00f3n moderada es suficiente o cuando las evaluaciones de funciones son econ\u00f3micas. Su orden inferior puede requerir pasos m\u00e1s aceptados que un m\u00e9todo de quinto orden cuando se solicitan tolerancias estrictas.<\/p>\n
    paso a paso<\/h2>\n
    La duplicaci\u00f3n de pasos estima el error temporal al comparar el mismo m\u00e9todo num\u00e9rico en dos resoluciones.<\/p>\n
    El procedimiento calcula:<\/p>\n
      \n
    1. Un paso completo de longitud \u0394t<\/code>.<\/li>\n
    2. Dos semi-seguros de longitud \u0394t\/2<\/code>.<\/li>\n
    3. La diferencia entre los dos resultados.<\/li>\n<\/ol>\n
      Para un m\u00e9todo de orden p<\/code>, una estimaci\u00f3n del error en el resultado de dos pasos refinado es:<\/p>\n
      e(refined) \u2248\n[\n    u(half)\n    -\n    u(full)\n]\n\/\n(\n    2^p - 1\n)<\/code><\/pre>\n
      La soluci\u00f3n aceptada normalmente deber\u00eda ser el resultado de los dos semi-pasos porque es m\u00e1s precisa.<\/p>\n
      La duplicaci\u00f3n de pasos requiere tres aplicaciones del m\u00e9todo subyacente: un paso completo y dos medios pasos. Por lo tanto, una implementaci\u00f3n impl\u00edcita puede requerir tres soluciones no lineales o lineales a menos que se pueda reutilizar alg\u00fan trabajo de configuraci\u00f3n.<\/p>\n
      Estimaci\u00f3n de residuos y defectos<\/h2>\n
      Los m\u00e9todos basados en residuos eval\u00faan qu\u00e9 tan de cerca una trayectoria num\u00e9rica reconstruida satisface la ecuaci\u00f3n diferencial entre puntos aceptados.<\/p>\n
      Una reconstrucci\u00f3n continua \u0169(t)<\/code> tiene un defecto:<\/p>\n
      d(t) =\nd\u0169\/dt\n-\nF(t, \u0169)<\/code><\/pre>\n
      El defecto puede soportar una estimaci\u00f3n de error cuando se combina con informaci\u00f3n de estabilidad o una norma apropiada.<\/p>\n
      El residuo algebraico de una soluci\u00f3n impl\u00edcita no es autom\u00e1ticamente una estimaci\u00f3n de error temporal. El m\u00e9todo de Newton puede reducir la ecuaci\u00f3n discreta residual casi a cero incluso cuando el paso de tiempo es demasiado grande para representar la soluci\u00f3n f\u00edsica con precisi\u00f3n.<\/p>\n
      Por lo tanto, la convergencia algebraica y el error de truncamiento temporal requieren controles separados.<\/p>\n
      M\u00e9todos BDF adaptativos<\/h2>\n
      Las f\u00f3rmulas de diferenciaci\u00f3n hacia atr\u00e1s son m\u00e9todos impl\u00edcitos de varios pasos que se utilizan para sistemas r\u00edgidos. Las implementaciones de orden variable com\u00fanmente cambian entre los pedidos del uno al cinco.<\/p>\n
      Un solucionador de BDF almacena informaci\u00f3n de estados anteriores aceptados. Construye un predictor para el nuevo estado, resuelve la ecuaci\u00f3n impl\u00edcita y estima el error de truncamiento local usando diferencias divididas o una representaci\u00f3n de historia similar a Nordsieck.<\/p>\n
      El solucionador puede cambiar:<\/p>\n