Problemas dominados por la advección: esquemas contra el viento y estabilización de SUPG

Las ecuaciones diferenciales parciales dominadas por la advección son difíciles porque la información se mueve principalmente a lo largo de una dirección de flujo, mientras que la difusión física proporciona un poco de suavizado. Un método numérico que funciona bien para un problema dominado por la difusión puede producir oscilaciones, manchas excesivas o valores no físicos cuando la advección se vuelve más fuerte.

La respuesta correcta no es simplemente seleccionar el esquema más difusivo disponible. La difusión numérica excesiva puede ocultar frentes afilados, debilitar los picos de concentración y alterar las tasas de transporte. Una discretización útil debe equilibrar la estabilidad, la delimitación, la conservación y la resolución.

El número de peclet de celda ayuda a describir este equilibrio. La diferenciación central puede funcionar cuando la malla resuelve la difusión física. El primer orden contra el viento proporciona robustez pero mancha la solución. Los esquemas limitados de orden superior reducen la mancha al controlar las oscilaciones. En los métodos de elementos finitos, SUPG agrega una estabilización constante principalmente a lo largo de líneas de corriente.

La ecuación de advección-difusión

Un modelo de transporte escalar común es:

∂φ/∂t + ∇ · (vφ) = ∇ · (α∇φ) + S

Para un campo de velocidad incompresible, esto se escribe a menudo como:

∂φ/∂t + v · ∇φ = α∇²φ + S

aquí:

• φ es el escalar transportado, como la temperatura o la concentración.
• v es el campo de velocidad.
• α es la difusividad física.
• S es una fuente o sumidero.

La difusión difunde información en todas las direcciones y suaviza los gradientes. La advección transporta información principalmente a lo largo de las características determinadas por el campo de velocidad. Cuando la difusión es débil, el método numérico debe respetar este transporte direccional.

El número de peclet celular

El número de peclet celular compara la advección y la difusión a la escala de una celda de malla. Una convención ampliamente utilizada es:

Peₕ = |v|h / α

Para una ecuación de difusión y convección constante unidimensional en una cuadrícula uniforme, los coeficientes de volumen finitos centrales clásicos siguen siendo no negativos cuando:

|Peₕ| ≤ 2

Algunas referencias definen el número de peclet de celda con un factor adicional de dos:

Pe* = |v|h / (2α)

Según esa convención, la condición equivalente es:

|Pe*| ≤ 1

Por lo tanto, la Convención debe establecerse antes de citar un umbral. Escribir |v|h/(2α) y compararlo con 2 mezclaría dos definiciones diferentes.

Para una malla de volumen finito multidimensional, un valor facial local más útil es:

Pe_f =
    |v_f · n_f| d_PA
    / α_f

El valor depende de la velocidad normal a través de una cara, la distancia entre los centros celulares vecinos y la difusividad local. Puede variar en todo el dominio cuando las propiedades de malla, velocidad o material no son uniformes.

Lo que realmente significa el criterio de Peclet

El umbral citado a menudo cerca de dos se aplica a una discretización de difusión de convección unidimensional constante particular. Es un criterio de acotación para los coeficientes algebraicos producidos por la diferenciación central.

No significa que cada esquema central para cada problema transitorio se vuelva inmediatamente inestable en el mismo número. Las discretizaciones espaciales y temporales deben analizarse juntas.

A menudo se confunden dos problemas diferentes:

1. En una ecuación de volumen finito de convección-difusión constante, la diferenciación central puede perder la positividad del coeficiente cuando el número de peclet celular es demasiado grande. La solución puede entonces desarrollar sobreimpulsos y subdivisiones.
2. Para la advección transitoria pura, hacia adelante Euler en el tiempo combinado con el espacio centrado, conocido como FTC, es inestable para cualquier número de Courant distinto de cero.

Ambos problemas pueden producir oscilaciones, pero sus causas matemáticas no son idénticas.

Por qué la diferenciación central puede oscilar

La diferenciación central estima un valor nominal simétricamente:

φ_f ≈ (φ_P + φ_A) / 2

En una cuadrícula uniforme, esto produce una aproximación de segundo orden para soluciones suaves. También introduce muy poca disipación numérica.

Esa baja disipación es útil cuando la solución física es suave y bien resuelta. Se convierte en un problema cerca de capas empinadas o cuando la difusión física es demasiado débil para controlar los modos de escala de cuadrícula.

En la ecuación de volumen finito unidimensional constante, el aumento del número de peclet de celda reduce un coeficiente vecino. Una vez que ese coeficiente cambia de signo, se puede perder el principio máximo discreto. La solución puede exceder los valores de los límites o volverse negativa incluso cuando la solución física permanece limitada.

Para la advección pura transitoria, una derivada espacial centrada es principalmente dispersiva. Su idoneidad depende del integrador de tiempo. Emparejarlo con Forward Euler produce un método inestable, mientras que otros integradores de tiempo pueden controlar el crecimiento pero aún así introducir errores de fase u oscilaciones cerca de gradientes no resueltos.

Diferenciación contra el viento de primer orden

La diferenciación contra el viento utiliza la información de la dirección en la que se origina el flujo. Para una velocidad unidimensional positiva:

(∂φ/∂x)ᵢ
≈ (φᵢ - φᵢ₋₁) / h

Para una velocidad negativa, utiliza el valor de la derecha:

(∂φ/∂x)ᵢ
≈ (φᵢ₊₁ - φᵢ) / h

Esta plantilla consciente de la dirección suprime muchas de las oscilaciones producidas por una aproximación centrada. Para la difusión de convección lineal constante, también produce coeficientes vecinos positivos en un rango mucho más amplio de números de peclet celular.

La discretización espacial contra el viento no debe describirse como incondicionalmente estable sin calificación. Si se combina con un integrador de tiempo explícito, el método completo aún tiene una restricción de Courant.

contra el viento como diferenciación central más difusión

Para una velocidad constante positiva, la derivada contra el viento de primer orden se puede escribir exactamente como:

(φᵢ - φᵢ₋₁) / h
=
(φᵢ₊₁ - φᵢ₋₁) / (2h)
-
(φᵢ₊₁ - 2φᵢ + φᵢ₋₁) / (2h)

La expresión de la segunda diferencia se aproxima a hφₓₓ. La sustitución del operador de contraataque en la ecuación de advección da la ecuación modificada:

∂φ/∂t + v∂φ/∂x
=
(|v|h / 2) ∂²φ/∂x²
+ higher-order terms

El principal coeficiente de difusión numérica de la semidiscretización espacial es, por lo tanto:

α_num = |v|h / 2

Esto explica tanto la estabilidad como la mancha asociada con el viento de primer orden. Agrega un término de truncamiento similar a la difusión que suprime las ondas cortas y los gradientes agudos.

La fórmula describe el error principal del operador espacial. Una vez que se agrega una discretización de tiempo, la ecuación modificada completa puede contener términos adicionales que dependen del número de Courant y del tamaño del paso de tiempo.

Reducción de la difusión numérica

Debido a que las escalas de difusión en contra del viento con espaciamiento de malla, la refinación de la malla reduce la mancha. Reduciendo solo el paso de tiempo no elimina el error espacial principal.

Otras opciones incluyen:

• Uso de una reconstrucción de segundo orden
• Aplicar un limitador de flujo
• Uso rápido en mallas estructuradas adecuadas
• Aplicación de los métodos TVD o WNO
• Uso de SUPG en una formulación de elementos finitos
• Alinear y refinar la malla cerca de capas importantes

Aumentar la difusividad física no es una solución numérica. Cambia el modelo y solo debe hacerse cuando el problema físico requiere un coeficiente diferente.

Difusión y dispersión numérica

La difusión numérica reduce la amplitud de las ondas resueltas. Difunde discontinuidades y suaviza picos estrechos.

La dispersión numérica cambia la velocidad de propagación de diferentes longitudes de onda. Puede producir oscilaciones de avance o de final incluso cuando la amplitud total no está fuertemente amortiguada.

El contraviento de primer orden es principalmente disipativo. Muchos esquemas centrados y de orden superior son menos disipativos pero más dispersivos. Un buen método de transporte debe controlar ambos efectos.

El equilibrio correcto depende de la aplicación. Una pequeña cantidad limitada de disipación puede ser aceptable en un cálculo de ingeniería sólido. En la propagación de las ondas, la amortiguación excesiva puede destruir la cantidad que se está midiendo. En el transporte reactivo, los bajos oscilatorios pueden crear concentraciones negativas y romper el modelo de reacción.

Esquemas lineales de orden superior

El orden nominal se aplica en regiones suaves bajo los supuestos utilizados para derivar el esquema. Los límites, los limitadores, la no ortogonalidad de la malla, las discontinuidades y los coeficientes variables pueden reducir la tasa de convergencia observada.

Limitadores de flujo y esquemas de TVD

Un limitador de flujo combina un fundente robusto de bajo orden con una corrección de orden superior menos difusiva. En regiones suaves, el limitador permite la aproximación de orden superior. Cerca de gradientes afilados, reduce la corrección para evitar nuevos máximos o mínimos.

Se puede escribir un valor de rostro combinado simplificado como:

φ_f =
φ_f(upwind)
+
ψ(r) [
    φ_f(high-order)
    - φ_f(upwind)
]

La función de limitador ψ(r) depende de los gradientes vecinos. Los ejemplos comunes incluyen Minmod, Van Leer, SuperBee y Limitadores centrales monotonizados.

Los métodos de disminución de la variación total están diseñados para evitar aumentar la variación total de una solución unidimensional. Ofrecen un compromiso útil entre la robustez del primer orden de primer orden y la resolución de un esquema de orden superior.

Cerca de una discontinuidad real, un limitador no lineal normalmente reduce el orden local. Esto es de esperar: mantener la monotonicidad y el alto orden lineal en una discontinuidad son objetivos en conflicto.

Métodos

Los métodos esencialmente no oscilatorios ponderados utilizan varias plantillas candidatas. Los indicadores de suavidad asignan un peso más bajo a las plantillas que cruzan una discontinuidad.

Los métodos WENO pueden proporcionar una precisión de alto orden en regiones suaves al tiempo que evitan las oscilaciones más fuertes de un esquema lineal de orden superior fijo. Son ampliamente utilizados para el flujo compresible, las leyes de conservación y los problemas con los choques en movimiento.

Sus desventajas incluyen un mayor costo computacional, dependencias de datos más amplias, tratamiento de límites más complejo y varias opciones de implementación que afectan la disipación.

Estabilización de supg

La estabilización aerodinámica hacia arriba del viento/petrov-galerkin es principalmente una técnica de elementos finitos. Modifica el espacio de prueba para que la forma débil reciba una contribución basada en residuos alineada con el flujo.

Para un operador con fuerte residuo:

R(φ) =
∂φ/∂t
+ v · ∇φ
- ∇ · (α∇φ)
- S

Un término de estabilización típico es:

Σ_K ∫_K
    τ_K
    (v · ∇w)
    R(φ_h)
dΩ

Debido a que el residuo fuerte aparece en la formulación, el término es consistente: la solución exacta también satisface la ecuación estabilizada.

El factor v · ∇w enfatiza la dirección aerodinámica. Esto reduce las oscilaciones sin introducir la misma cantidad de manchas de viento cruzado que la simple difusión artificial isotrópica.

Elegir el parámetro SUPG

El parámetro de estabilización no es universalmente igual a h/(2|v|). Esa expresión es el límite alto de peclet de varias fórmulas de advección constante.

Para un problema de advección-difusión constante unidimensional, una forma común es:

τ =
h / (2|v|)
[
    coth(Pe*) - 1/Pe*
]

Pe* = |v|h / (2α)

Cuando la advección domina fuertemente:

τ → h / (2|v|)

Cuando la difusión domina, la expresión se acerca a un límite escalado por difusión en lugar de agregar una estabilización excesiva.

Las implementaciones transitorias y multidimensionales pueden combinar escalas de tiempo, advección y difusión:

τ ≈
[
    (c_t / Δt)²
    + (c_v |v| / h)²
    + (c_d α / h²)²
]⁻¹ᐟ²

Las constantes y la definición de longitud del elemento dependen de la formulación. La expresión apropiada debe provenir del método de elementos finitos y la implementación del software que se está utilizando.

La Documentación de Moose LevelSetAdvectionsUpG muestra cómo se incluye SUPG como parte de una ecuación establecida de nivel estabilizada completa.

SUPG no es difusión artificial isotrópica

Agregar un coeficiente escalar más grande a un término de difusión ordinario no es una implementación completa de SUPG. Un coeficiente de difusión escalar actúa en cada dirección espacial.

SUPG modifica la forma débil utilizando la derivada direccional de la función de prueba y el residuo fuerte. Por lo tanto, puede agregar estabilización aerodinámica mientras se conserva una mayor resolución de viento cruzado.

Las oscilaciones de viento cruzado aún pueden ocurrir en capas multidimensionales difíciles. A veces se utilizan términos adicionales de captura de discontinuidad o captura de golpes con SUPG, pero estos deben diseñarse y validarse por separado.

Advección-difusión en Fipy

Fipy proporciona varios términos de convección de volumen finito, que incluyen:

• CentralDifferenceConvectionTerm
• ExponentialConvectionTerm
• HybridConvectionTerm
• PowerLawConvectionTerm
• UpwindConvectionTerm
• ExplicitUpwindConvectionTerm
• VanLeerConvectionTerm

El coeficiente de un término de convección debe representar una velocidad o flujo vectorial. En dos dimensiones, se puede suministrar un vector constante en la forma ((v_x,), (v_y,)).

Un ejemplo de lucha contra el viento

El siguiente ejemplo transporta una región escalar circular a través de un dominio bidimensional y agrega una pequeña cantidad de difusión física:

from fipy import (
    Grid2D,
    CellVariable,
    TransientTerm,
    DiffusionTerm,
    UpwindConvectionTerm
)
from fipy.tools import numerix

# Domain
length_x = 2.0
length_y = 1.0

nx = 200
ny = 100

dx = length_x / nx
dy = length_y / ny

mesh = Grid2D(
    nx=nx,
    ny=ny,
    dx=dx,
    dy=dy
)

# Transported scalar
phi = CellVariable(
    name="concentration",
    mesh=mesh,
    value=0.0,
    hasOld=True
)

x, y = mesh.cellCenters

initial_region = (
    (x - 0.4) ** 2
    + (y - 0.5) ** 2
    < 0.1 ** 2
)

phi.setValue(
    1.0,
    where=initial_region
)

# Constant velocity vector
velocity_x = 1.0
velocity_y = 0.0

velocity = (
    (velocity_x,),
    (velocity_y,)
)

diffusivity = 1e-3

equation = (
    TransientTerm(var=phi)
    + UpwindConvectionTerm(
        coeff=velocity,
        var=phi
    )
    == DiffusionTerm(
        coeff=diffusivity,
        var=phi
    )
)

# Inflow value on the left boundary
phi.constrain(
    0.0,
    where=mesh.facesLeft
)

# Moderate time step for temporal accuracy
dt = 0.25 * dx / abs(velocity_x)
number_of_steps = 200

for step in range(number_of_steps):
    phi.updateOld()
    equation.solve(
        var=phi,
        dt=dt
    )

UpwindConvectionTerm utiliza una discretización implícita de convección de primer orden de primer orden. Por lo tanto, el paso de tiempo elegido no se presenta como un estricto límite CFL explícito. Se mantiene moderado para resolver el transporte con precisión.

Para la convección integrada explícitamente, el esquema completo debe satisfacer la restricción de estabilidad asociada con los métodos espaciales y temporales elegidos.

Uso del esquema de ley de potencia de Fipy

Para la convección-difusión constante, los ejemplos oficiales de Fipy usan PowerLawConvectionTerm:

from fipy import (
    CellVariable,
    Grid1D,
    DiffusionTerm,
    PowerLawConvectionTerm
)

length = 10.0
cell_count = 1000

mesh = Grid1D(
    nx=cell_count,
    dx=length / cell_count
)

concentration = CellVariable(
    name="concentration",
    mesh=mesh,
    value=0.0
)

concentration.constrain(
    0.0,
    where=mesh.facesLeft
)

concentration.constrain(
    1.0,
    where=mesh.facesRight
)

diffusivity = 1.0
velocity = (10.0,)

equation = (
    DiffusionTerm(
        coeff=diffusivity
    )
    + PowerLawConvectionTerm(
        coeff=velocity
    )
)

equation.solve(
    var=concentration
)

Documentos fipy PowerLawConvectionTerm y ExponentialConvectionTerm como adecuados para una amplia gama de casos de convección-difusión, con la aproximación de ley de potencia que ofrece una opción práctica más eficiente.

Comprobación del número de peclet

Para el ejemplo bidimensional uniforme, los números de peclet de celda direccional se pueden calcular como:

peclet_x = (
    abs(velocity_x)
    * dx
    / diffusivity
)

peclet_y = (
    abs(velocity_y)
    * dy
    / diffusivity
)

print("Pe_x =", peclet_x)
print("Pe_y =", peclet_y)

Para las mallas no uniformes y las velocidades variables, calcule un número de peclet de la cara local utilizando la velocidad de la cara normal y la distancia de la célula local. Un solo valor global puede ocultar regiones de pecle alto.

Los errores espaciales y temporales deben estar separados

La mancha en un cálculo de advección puede provenir del flujo espacial, el integrador de tiempo o ambos.

Euler hacia atrás, por ejemplo, es disipativo para los modos de decaimiento y oscilatorio. La manivela-Nicolson se comporta de manera diferente y no humedece fuertemente todos los modos rígidos. Los métodos explícitos de Runge-Kutta tienen sus propias curvas de disipación y dispersión.

Por lo tanto, es inexacto afirmar que cada método implícito siempre introduce la misma cantidad de difusión. La amortiguación numérica depende del método.

Un análisis útil varía la malla mientras se mantiene pequeño el error temporal, luego varía el paso de tiempo en una malla fina fija. Esto ayuda a separar la difusión numérica espacial del error temporal.

La guía relacionada métodos de integración de tiempo para solucionadores de PDE: explícito vs implícito Schemes analiza esta distinción con más detalle.

Elegir una estrategia de estabilización

Condiciones de contorno en problemas de advección

La advección transporta información al dominio a través de los límites de entrada. Los valores de los límites deben prescribirse normalmente donde:

v · n < 0

En un límite de flujo de salida, la prescripción de un valor escalar innecesario puede constricción del problema o crear una capa límite falsa.

La difusión cambia los requisitos de los límites porque introduce un operador espacial de segundo orden. Por lo tanto, un modelo de advección-difusión completo puede necesitar una condición de valor o flujo derivada del problema físico.

Las condiciones de los límites deben verificarse junto con la dirección del flujo. Un esquema puede parecer inestable cuando el problema real es un tratamiento incorrecto de entrada o salida.

Alineación de malla y difusión de viento cruzado

La difusión numérica está influenciada por la orientación de la malla. En una cuadrícula cartesiana, el transporte alineado con un eje de coordenadas suele representarse más limpiamente que el transporte diagonal.

Cuando el flujo cruza la rejilla oblicuamente, los esquemas contra el viento multidimensionales de primer orden pueden introducir una mancha sustancial de viento cruzado. El refinamiento, las mallas anisotrópicas, la reconstrucción de mínimos cuadrados, la limitación multidimensional o la estabilización de elementos finitos basados en residuos pueden mejorar el resultado.

Un tamaño de celda pequeño por sí solo no garantiza una buena precisión si las células están muy sesgadas o están mal alineadas con capas importantes.

Pruebas de verificación

Se debe probar una nueva implementación de advección en problemas con el comportamiento conocido.

Traducción de un perfil suave

Use límites periódicos y transporte una onda gaussiana o sinusoidal suave. Después de un período, compare el perfil numérico con la condición inicial.

Esta prueba revela pérdida de amplitud y error de fase.

Traducción de un pulso cuadrado

Un pulso cuadrado expone la difusión numérica y las oscilaciones. El primer orden contra el viento mancha los bordes, mientras que los esquemas de alto orden no restringidos pueden sobrepasar.

gota giratoria

Un campo de velocidad de rotación bidimensional prueba el transporte multidimensional, la difusión del viento cruzado y los efectos de orientación de la malla.

Capa límite estable

Un problema de difusión de convección constante y unidimensional con una solución analítica conocida prueba el criterio de peclet celular y la capacidad de resolver una delgada capa de flujo de salida.

Convergencia de malla y paso de tiempo

Ejecute el mismo problema en varias mallas. Medir errores en cantidades tales como:

• valor pico
• posición frontal
• Espesor de la capa <>
• Masa transportada total
• L1, L2 o norma máxima
• sobreimpulso y bajo

Repita el cálculo con pasos de tiempo más pequeños en una malla fija. Esto separa los errores espaciales y temporales.

Un método de orden superior debe demostrar su convergencia esperada en una prueba suave. Cerca de las discontinuidades, la convergencia global puede ser menor porque la solución exacta carece de regularidad suficiente.

Errores comunes

• Mezclar dos definiciones de números de peclet diferentes
• Aplicando el umbral de diferencia central constante a cada esquema transitorio
• Llamar a contracturante incondicionalmente estable sin especificar el integrador de tiempo
• Suponiendo que la difusión numérica depende solo del paso de tiempo
• Reemplazo de SUPG con difusión isotrópica ordinaria
• Suponiendo que SUPG siempre usa τ = h/(2|v|)
• Uso de un esquema lineal de orden alto no restringido cerca de una discontinuidad
• Aumento de la difusividad física para ocultar la difuminación numérica
• Aplicar valores escalares tanto en la entrada como en el flujo de salida sin verificar el PDE
• Comparación de esquemas en diferentes mallas o en diferentes niveles de error
• Ignorar la conservación de la masa y los límites físicos
• Atribución de toda amortiguación a la discretización espacial

un flujo de trabajo práctico

1. Escriba la ecuación en forma conservadora o no conservativa según lo requiera la física.
2. Identifique los límites de entrada, salida y difusión.
3. Calcule los números de peclet de celda direccional local.
4. Comience con un esquema robusto contra el viento o acotado.
5. Mida la difusión numérica en una prueba de transporte conocida.
6. Refina la malla y verifica la convergencia.
7. Pasar a un esquema de orden superior limitado cuando la difusión es inaceptable.
8. Use SUPG para formulaciones de elementos finitos que necesitan una estabilización aerodinámica.
9. Compruebe el número de Courant y la convergencia temporal por separado.
10. Documente el flujo, el limitador, el parámetro de estabilización y el tratamiento de los límites.

Guías relacionadas

• método de volumen finito explicado simplemente — Revise los flujos faciales, la conservación y la discretización centrada en las células.
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• extendiendo fipy con módulos personalizados — Explore el comportamiento numérico personalizado en los modelos fipy.

Lectura adicional

• Computación por diferencias finitas con PDES — Análisis detallado de esquemas de advección, factores de amplificación, difusión y dispersión.
• nptel: convección y difusión — Discusión del comportamiento de volumen finito central y contra el viento y el criterio de peclet.
• Documentación de Moose LevelSetAdvectionsUpG: una implementación de la estabilización de SUPG para una ecuación establecida por el nivel.
• WIAS BERLIN: Estabilización de problemas dominados por convección — Recursos sobre métodos de elementos finitos estabilizados.
• FENICS QA: Implementación de SUPG — Discusión histórica de la implementación y precauciones prácticas.
• Ejemplos de advección establecidos en el nivel de Fipy — Ejemplos de advección de la documentación de Fipy.
• Supg Análisis de métodos de elementos finitos — Análisis matemático de formulaciones de elementos finitos estabilizados.
• Intercambio de pila de ciencia computacional: por qué la advección es desafiante — Discusión comunitaria de numérico Cuestiones en las ecuaciones de advección.

Conclusión

Las ecuaciones dominadas por la advección desafían los métodos numéricos porque la difusión física es demasiado débil para suprimir el comportamiento de escala de cuadrícula no resuelto. El número de peclet de celda ayuda a determinar si es probable que una discretización de volumen finito central estable permanezca limitada, pero su definición y campo de aplicación deben establecerse correctamente.

El primer orden contra el viento proporciona una aproximación direccional robusta. Su error de truncamiento principal se comporta como la difusión artificial con coeficiente |v|h/2, lo que explica tanto su estabilidad como su tendencia a manchar los frentes.

Los métodos lineales de orden superior reducen la difusión numérica, pero pueden introducir oscilaciones dispersivas. Los limitadores de flujo, los esquemas de TVD y los métodos Weno utilizan mecanismos no lineales para retener una alta resolución en regiones suaves al tiempo que reducen las oscilaciones cerca de gradientes pronunciados.

SUPG cumple un propósito relacionado en métodos de elementos finitos. Agrega un término basado en residuos consistente alineado con la dirección del flujo. Su parámetro de estabilización depende de la advección local, la difusión, la malla y, a veces, la escala de tiempo; No debe ser reemplazado a ciegas por una cantidad fija de difusión isotrópica.

Ningún esquema es universalmente mejor. La elección correcta depende del número de peclet local, la regularidad de la solución, los requisitos de conservación, la calidad de la malla, las condiciones de contorno y la tolerancia a la difusión o la dispersión. Una elección creíble debe estar respaldada por pruebas analíticas, refinamiento de malla, convergencia temporal y controles de límites físicos.