Cuantificación de incertidumbre y análisis de sensibilidad en simulación científica

Una simulación científica rara vez recibe insumos perfectamente conocidos. Las propiedades del material provienen de mediciones con barras de error. Las condiciones de los límites varían entre los experimentos. Los estados iniciales pueden observarse sólo parcialmente. Los modelos numéricos también simplifican los procesos físicos que no se pueden representar con total detalle.

La cuantificación de incertidumbre, comúnmente abreviada a UQ, estudia cómo estas incertidumbres afectan las predicciones de simulación. El análisis de sensibilidad pregunta qué insumos inciertos son responsables de los cambios observados en la producción.

Las dos disciplinas apoyan decisiones diferentes. UQ puede mostrar que una temperatura máxima predicha se encuentra dentro de un amplio intervalo. El análisis de sensibilidad puede revelar que la mayor parte de este intervalo es causada por incertidumbre en la conductividad térmica en lugar de la capacidad calorífica o la temperatura límite.

Usados juntos, ayudan a los investigadores a informar intervalos de predicción creíbles, priorizan nuevas mediciones, simplifican modelos y diseñan campañas de simulación más eficientes.

¿Qué es la cuantificación de la incertidumbre?

Considere un modelo computacional:

Y = M(X)

El vector X contiene entradas inciertas, mientras que Y es una cantidad de interés pronosticada. Los ejemplos de Y incluyen la tensión máxima, el rendimiento de reacción, la temperatura, la longitud de la grieta, el tiempo de llegada de la onda o la caída de presión.

UQ asigna descripciones matemáticas a las entradas inciertas y las propaga a través del modelo. El resultado puede incluir:

• valor esperado
• Varianza y desviación estándar
• cuantiles
• Predicción o intervalos creíbles
• Probabilidad de exceder un umbral de seguridad
• Distribuciones completas de probabilidad de salida

UQ no prueba automáticamente que un modelo sea correcto. Describe las consecuencias de supuestos de incertidumbre especificados. Las distribuciones incorrectas, las fuentes de incertidumbre faltantes o un modelo físico no válido aún pueden producir intervalos engañosos.

¿Qué es el análisis de sensibilidad?

El análisis de sensibilidad mide cómo los cambios en las entradas del modelo afectan a una producción. Puede responder preguntas como:

• ¿Qué parámetros contribuyen más a la varianza de la salida?
• ¿Qué entradas casi no tienen efecto?
• ¿Son importantes las interacciones entre los parámetros?
• ¿Qué medición se debe mejorar primero?
• ¿Se puede reducir el modelo sin cambiar sus predicciones?

Un parámetro puede tener un amplio rango de incertidumbre pero poco efecto en la salida. Se puede conocer otro parámetro con bastante precisión, pero tiene una fuerte influencia física. La sensibilidad depende tanto de la respuesta del modelo como de la supuesta incertidumbre de entrada.

UQ en el marco VVUQ

La verificación, la validación y la cuantificación de la incertidumbre forman un marco de credibilidad conectado:

1. Verificación: ¿Las ecuaciones están implementadas y resueltas correctamente?
2. Validación: ¿El modelo representa adecuadamente el sistema real para su uso previsto?
3. Cuantificación de incertidumbre: ¿Cómo afectan las insumos inciertos, los supuestos del modelo y otras fuentes de incertidumbre?

El análisis de sensibilidad respalda este marco al identificar qué supuestos y parámetros influyen más en las cantidades utilizadas en una decisión.

asme vvuq Portafolio de estándares proporciona una guía específica del dominio para evaluar la credibilidad de los modelos computacionales. La guía de MatForge relacionada en Verificación y validación en simulaciones científicas explica el proceso más amplio.

Fuentes de incertidumbre

Un útil estudio de UQ comienza con un inventario de incertidumbre. Los investigadores deben identificar dónde ingresa la incertidumbre al modelo antes de seleccionar un método numérico.

Incertidumbre aleatoria

La incertidumbre aleatoria representa la variabilidad inherente en una población o proceso. Los ejemplos incluyen variación en los tamaños de grano, carga aleatoria, tolerancias de fabricación o condiciones ambientales.

Esta variabilidad no se elimina midiendo una muestra con mayor precisión. Se representa comúnmente con distribuciones de probabilidad estimadas a partir de observaciones repetidas.

Incertidumbre epistémica

La incertidumbre epistémica representa un conocimiento incompleto. Los ejemplos incluyen parámetros mal medidos, condiciones de contorno desconocidas, datos experimentales limitados o una ley constitutiva incierta.

Puede reducirse a través de nuevos experimentos, sensores mejorados, teoría adicional o un modelo más detallado. Se puede usar una distribución de probabilidad cuando existe suficiente información, pero los intervalos, conjuntos, cuadros de probabilidad u otras representaciones imprecisas pueden ser más defendibles cuando los datos son débiles.

Incertidumbre de modelo

La incertidumbre de la forma del modelo surge porque las ecuaciones omiten o simplifican los procesos físicos reales. Un cierre de turbulencia, un mecanismo de reacción, una ley de contacto o un modelo constitutivo de orden reducido pueden seguir siendo imperfectos incluso cuando se conocen sus parámetros.

La propagación de entradas por sí sola no captura la incertidumbre de la forma del modelo. Los investigadores pueden necesitar formularios de modelos múltiples, términos de discrepancia, datos de validación o juicio de expertos.

incertidumbre numérica

La discretización, las tolerancias iterativas, el error sustituto y el error de muestreo también afectan las predicciones reportadas. Estos no deben mezclarse silenciosamente con la incertidumbre de los parámetros físicos.

La convergencia de malla y paso de tiempo normalmente debe establecerse antes de una gran campaña de UQ. De lo contrario, el estudio puede propagar entradas inciertas a través de una solución que no está convergente numéricamente.

El Academias nacionales Discusión sobre la cuantificación de la incertidumbre enfatiza Identificar y caracterizar las fuentes de incertidumbre como parte de una predicción computacional creíble.

Un flujo de trabajo general de UQ

1. Definir la predicción o la cantidad de decisión.
2. Verificar la implementación computacional.
3. Evaluar la convergencia numérica.
4. Enumere los parámetros inciertos, los datos de límites y los supuestos del modelo.
5. Separe la incertidumbre aleatoria, epistémica, modelo y numérica donde sea posible.
6. Asigne rangos, distribuciones o límites justificados.
7. Seleccione un método de muestreo o sustituto.
8. Ejecute la campaña computacional.
9. Estimar estadísticas de producción y medidas de sensibilidad.
10. Valide la subrogación y verifique la convergencia de las estimaciones de UQ.
11. Informar suposiciones, fallas y limitaciones.

Monte Carlo y Quasi-Monte Carlo

La propagación de Monte Carlo es la línea de base general. Las muestras se extraen de la distribución de entrada conjunta, se evalúa la simulación para cada muestra y las estadísticas de salida se estiman a partir del conjunto resultante.

Su principal ventaja es la flexibilidad. No requiere que la respuesta sea suave o polinomial. Se puede aplicar a salidas discontinuas, eventos de umbral y modelos complejos de caja negra.

Su principal limitación es la lenta convergencia estadística. El error estándar de una estimación ordinaria de Monte Carlo suele disminuir proporcionalmente a:

N^(-1/2)

Cuasi-Monte Carlo utiliza secuencias de baja discrepancia para cubrir el espacio de parámetros de manera más uniforme. El cuasi-monte carlo aleatorizado también puede respaldar estimaciones de incertidumbre y, a menudo, mejorar la convergencia práctica para integrandos suficientemente regulares.

Las estrategias de muestreo que incluyen Monte Carlo, muestreo de hipercubo latino, secuencias SOBOL y QMC aleatorizados se cubren en la Guía de métodos de Monte Carlo.

Ampliación del caos polinómico

La expansión del caos polinomial se aproxima a la salida del modelo como una suma de polinomios ortogonales de las entradas inciertas:

Y(X) ≈ Σ cₖ Ψₖ(X)

Las funciones básicas Ψₖ se seleccionan para que sean ortogonales con respecto a las distribuciones de probabilidad de entrada. Los polinomios de Legendre se asocian comúnmente con entradas uniformes, mientras que los polinomios hermitas se asocian con entradas gaussianas.

Los coeficientes cₖ se pueden estimar a través de regresión, cuadratura, proyección o una reformulación intrusiva de las ecuaciones gobernantes.

PCE no intrusivo

Un PCE no intrusivo trata el simulador como una caja negra. El flujo de trabajo es:

1. Seleccione una base polinómica.
2. generar puntos de entrenamiento o cuadratura.
3. Ejecute el simulador original en esos puntos.
4. Estimar los coeficientes de expansión.
5. Valide la expansión en puntos independientes.

Este enfoque se puede agregar alrededor de un CFD existente, elemento finito, campo de fase o modelo molecular sin cambiar sus ecuaciones internas.

CP intrusivo

Una formulación intrusiva sustituye la expansión en las ecuaciones gobernantes y deriva un sistema determinista acoplado para los coeficientes.

Puede ser eficiente para ecuaciones adecuadas, pero requiere cambios importantes en el solucionador. El sistema acoplado también puede volverse grande y difícil de preacondicionar.

Cuando el PCE es efectivo

El PCE puede converger rápidamente cuando la respuesta del modelo varía sin problemas con las entradas inciertas y la dimensión del parámetro efectivo es modesta.

No debe describirse con un factor de aceleración universal. El número de simulaciones requeridas depende de:

• Número de parámetros inciertos
• orden polinómico
• Fuerza de las interacciones de los parámetros
• Suavidad de la respuesta
• Estrategia de regresión o cuadratura
• Precisión deseada
• Calidad del diseño experimental

Para respuestas discontinuas, bifurcaciones, cambios de contacto, eventos de umbral o fallas del solucionador, una expansión polinomial global puede converger lentamente o crear artefactos oscilatorios.

La maldición de la dimensionalidad

Una base polinomial de grado total de orden p en d Parámetros inciertos contiene:

Number of terms = (d + p)! / (d! p!)

Para 20 parámetros y orden tres, esto produce 1.771 términos. Una regresión estable generalmente requiere más puntos de entrenamiento que los coeficientes, por lo que la demanda computacional puede volverse poco práctica rápidamente.

El número de parámetros por sí solo no es el problema completo. Un modelo de dimensión nominalmente alta aún puede tener una dimensión efectiva baja si solo unos pocos parámetros o interacciones controlan la respuesta.

Caos polinómico escaso

Escaso PCE reduce el número de términos base candidatos o selecciona sólo términos soportados por los datos disponibles.

Los enfoques comunes incluyen:

• Truncamiento hiperbólico, que penaliza los términos de interacción de alto orden
• Regresión de mínimo ángulo
• Lazo u otra regresión regularizada
• Detección de compresión
• Enriquecimiento de base adaptativa
• Rejillas de cuadratura escasas de Smolyak

Los métodos escasos pueden extender PCE a conjuntos de parámetros más grandes, pero no eliminan los problemas de dimensionalidad automáticamente. Su éxito depende de la escasez de coeficientes y las interacciones de bajo orden.

La guía de mejores prácticas de PTB analiza el caos polinomial, las cuadrículas escasas y las consideraciones de dimensionalidad en el análisis de incertidumbre.

Estadísticas y sensibilidad del PCE

Cuando la base es ortonormal, los momentos de salida se pueden obtener directamente a partir de los coeficientes de expansión.

El coeficiente constante da la media:

E[Y] = c₀

La varianza es la suma de coeficientes no constantes al cuadrado:

Var[Y] = Σ cₖ²

Los índices SOBOL se pueden calcular agrupando los coeficientes de acuerdo con las variables presentes en cada término polinomial. Esto no requiere de evaluaciones costosas adicionales de la simulación original después de que se haya instalado el PCE.

El cálculo de la sensibilidad es económico, pero primero se debe mostrar el PCE para aproximar el modelo con precisión.

Colocación estocástica

La colocación estocástica evalúa el simulador determinista en puntos seleccionados en el espacio de incertidumbre y construye una aproximación basada en la interpolación o proyección.

La cuadratura gaussiana puede funcionar bien en dimensiones bajas. Las cuadrículas escasas reducen el crecimiento en el número de puntos multidimensionales. Las cuadrículas adaptativas agregan puntos donde la respuesta requiere una mayor resolución.

Las muestras ordinarias de SOBOL o de hipercubo latino son útiles para sustitutos basados en regresión, pero no deben confundirse con las reglas clásicas de colocación en cuadratura.

UQ basado en sustitutos

Cuando una simulación de alta fidelidad lleva horas o días, puede ser necesario un sustituto. Un sustituto se entrena en un conjunto limitado de simulaciones costosas y luego se evalúa a bajo precio durante la propagación de la incertidumbre.

Las opciones comunes incluyen:

• Superficies de respuesta polinómica
• Expansiones de caos polinómicos
• Modelos de Proceso Gaussiano o Kriging
• Funciones de base radial
• Modelos de pedido reducido
• sustitutos de redes neuronales

Un sustituto agrega una nueva fuente de incertidumbre: error de aproximación. Debe validarse en puntos que no se usaron durante el entrenamiento.

La Guía de sustitutos de aprendizaje automático explica con mayor detalle la selección y la validación del modelo.

Análisis de sensibilidad local y global

El análisis de sensibilidad local examina los derivados cerca de un estado de referencia:

∂Y / ∂Xᵢ

Es útil para la optimización basada en gradientes, la calibración y las pequeñas perturbaciones. Puede pasar por alto el comportamiento no lineal y las interacciones en otras partes del espacio de parámetros.

El análisis de sensibilidad global varía las entradas en todos sus rangos o distribuciones asignados. Es más adecuado para modelos no lineales y atribución de incertidumbre.

Índices de sensibilidad de SOBOL

El análisis SOBOL descompone la varianza del producto en contribuciones de parámetros individuales y sus interacciones.

El índice de primer orden es:

Sᵢ =
Var(E[Y | Xᵢ])
/ Var(Y)

Mide la varianza explicada por el parámetro Xᵢ solo.

El índice de orden total incluye el parámetro y cada interacción que lo involucra:

S_Tᵢ =
1 - Var(E[Y | X₋ᵢ])
    / Var(Y)

Una gran diferencia entre los índices de orden total y de primer orden sugiere que las interacciones son importantes.

La descomposición clásica de sobol generalmente asume variables de entrada independientes. Las entradas dependientes requieren métodos o transformaciones modificados, y sus índices deben interpretarse de manera diferente.

Detección de Morris

El método Morris es una técnica de selección económica. Calcula efectos elementales a lo largo de múltiples trayectorias en el espacio de entrada.

Dos resúmenes comunes son:

• μ*, el efecto elemental absoluto medio, utilizado como medida de importancia
• σ, la propagación de los efectos, indicando no linealidad, interacciones o ambas

Morris no proporciona una descomposición directa de la varianza de la producción. Su propósito es separar las entradas claramente no importantes de los parámetros que requieren un análisis más detallado.

Rápido y otros métodos

La prueba de sensibilidad de amplitud de Fourier asigna frecuencias a la variación de entrada y estima las contribuciones de varianza del espectro de Fourier de la respuesta del modelo.

Otros métodos sirven a diferentes objetivos:

• RBD-FAST para un análisis eficiente de primer orden
• Peón para la sensibilidad basada en la distribución
• Medidas independientes del momento de Delta
• Medidas de sensibilidad global basadas en derivados
• Coeficientes de regresión estandarizados para modelos aproximadamente lineales

Ninguna medida de sensibilidad es universalmente mejor. El método debe coincidir con el costo del modelo, la estructura de dependencia, la no linealidad y la pregunta científica.

Herramientas de Python para UQ y Sensibilidad

El ecosistema es especializado más que estrictamente todo en uno. Un proyecto puede usar SALIB para la detección, CHAOSPY o UQPY para PCE y SMT para un modelo subrogado costoso.

Un ejemplo de PCE con Chaospy

El siguiente ejemplo se ajusta a una aproximación polinómica de un modelo de dos entradas por regresión:

import chaospy as cp
import numpy as np

# Independent uncertain parameters
distribution = cp.J(
    cp.Uniform(0.8, 1.2),
    cp.Normal(2.0, 0.1)
)

# Total-degree polynomial basis
order = 3
expansion = cp.generate_expansion(
    order,
    distribution
)

# Experimental design
sample_count = 100
samples = distribution.sample(
    sample_count,
    rule="sobol"
)

def model(sample):
    conductivity = sample[0]
    source_strength = sample[1]

    return (
        source_strength
        / conductivity
        + 0.2 * conductivity ** 2
    )

evaluations = np.array([
    model(samples[:, index])
    for index in range(sample_count)
])

# Fit non-intrusive PCE by regression
approximation = cp.fit_regression(
    expansion,
    samples,
    evaluations
)

mean = cp.E(
    approximation,
    distribution
)

variance = cp.Var(
    approximation,
    distribution
)

first_order = cp.Sens_m(
    approximation,
    distribution
)

total_order = cp.Sens_t(
    approximation,
    distribution
)

print("Mean:", float(mean))
print("Standard deviation:", float(np.sqrt(variance)))
print("First-order Sobol indices:", first_order)
print("Total-order Sobol indices:", total_order)

Este cálculo es significativo solo después de que se haya comprobado la aproximación polinomial en muestras de validación independientes.

Un ejemplo de sobol con salib

import numpy as np

from SALib.sample import sobol as sobol_sample
from SALib.analyze import sobol as sobol_analyze

problem = {
    "num_vars": 3,
    "names": [
        "conductivity",
        "heat_capacity",
        "source_strength"
    ],
    "bounds": [
        [0.8, 1.2],
        [0.9, 1.1],
        [1.5, 2.5]
    ]
}

parameter_values = sobol_sample.sample(
    problem,
    N=1024,
    calc_second_order=False,
    seed=42
)

def model(parameters):
    conductivity = parameters[0]
    heat_capacity = parameters[1]
    source_strength = parameters[2]

    return (
        source_strength
        / (conductivity * heat_capacity)
        + 0.1 * conductivity ** 2
    )

outputs = np.array([
    model(parameters)
    for parameters in parameter_values
])

indices = sobol_analyze.analyze(
    problem,
    outputs,
    calc_second_order=False,
    print_to_console=False
)

for index, name in enumerate(problem["names"]):
    print(name)
    print("  First order:", indices["S1"][index])
    print("  Total order:", indices["ST"][index])

El recuento de muestras utilizado por un diseño SOBOL es mayor que el valor base N. Depende del número de variables y de si se solicitan índices de segundo orden.

Validar un sustituto o PCE

Un sustituto no debe ser juzgado solo por su error de entrenamiento. Use puntos de validación independientes y examine:

• Error al cuadrado medio de la raíz
• Máximo error
• Error relativo cerca de umbrales importantes
• Cobertura de intervalos previstos
• Patrones residuales
• Precisión de momentos y cuantiles
• Estabilidad de las clasificaciones de sensibilidad

La validación cruzada puede admitir la selección del modelo, pero un conjunto de prueba final intacto sigue siendo valioso.

Si un sustituto es inexacto en una región pequeña con una alta probabilidad de falla o consecuencia de seguridad, un error medio global bajo puede seguir siendo inaceptable.

Elegir un método

Errores comunes

• Comenzando con una gran campaña de UQ antes de verificar la convergencia numérica
• Asignación de distribuciones sin datos o juicio de experto documentado
• Tratar la incertidumbre aleatoria y epistémica como intercambiable
• Ignorar la incertidumbre de la forma del modelo
• Usar una base polinomial completa en un problema de alta dimensión sin verificar el tamaño de la base
• Suponiendo que el PCE escaso funcionará para cada modelo de 20 o 50 parámetros
• Reportar momentos de PCE sin validar el sustituto
• Uso de índices SOBOL clásicos para entradas dependientes sin modificación
• Medidas de selección de Morris confusas con contribuciones de varianza
• Reportar índices de sensibilidad sin intervalos de confianza
• Descartar simulaciones fallidas sin investigar la región de falla
• Error de muestreo de mezcla, error de sustituto y error de discretización numérica
• Reportar una aceleración universal para un método UQ

Una campaña de UQ reproducible

Un estudio listo para la publicación debe registrar:

• Versiones de modelo y software
• Distribuciones de entrada, límites, correlaciones y evidencia de apoyo
• Semillas al azar y método de muestreo
• Número de muestras o simulaciones de entrenamiento
• Hiperparámetros de orden polinomial o sustituto
• Método de regresión y regularización
• Diseño de validación
• Fallas de solucionador y ejecuciones excluidas
• Intervalos de confianza para las estadísticas estimadas
• Comprobaciones de convergencia para momentos e índices de sensibilidad

guía de barridos de parámetros reproducibles Proporciona una estructura útil para planificar y documentar estas campañas.

Ejemplo de modelado de materiales

Considere un modelo de campo de fase con movilidad incierta, energía interfacial, difusividad, composición inicial y tasa de enfriamiento.

Un flujo de trabajo práctico podría ser:

1. Verificar la convergencia espacial y temporal del solucionador determinista.
2. Definir distribuciones de experimentos o literatura.
3. Utilice la selección de Morris para identificar los parámetros influyentes.
4. Construya un sustituto PCE o Kriging utilizando el conjunto de entradas reducida.
5. Valide el sustituto contra ejecuciones de campo de fase independientes.
6. Estime la incertidumbre en el tamaño de grano, la fracción de fase o el tiempo de solidificación.
7. Calcular los índices de Sobol.
8. Priorizar nuevas mediciones para los parámetros que impulsan la mayor varianza.

El Introducción al modelado de materiales proporciona antecedentes sobre Los modelos computacionales que se pueden incrustar en dicho flujo de trabajo.

Guías relacionadas

• Métodos Monte Carlo para simulaciones científicas — Compare el muestreo aleatorio, QMC, LHS y el comportamiento de convergencia.
• verificación vs. Validación en simulaciones científicas: coloque UQ dentro de un proceso de credibilidad del modelo completo.
• Barridos de parámetros reproducibles — Planifique campañas de simulación y conserve registros experimentales completos.
• Surrogadores de aprendizaje automático para simulaciones científicas — Construya y valide aproximaciones económicas de modelos costosos.
• cuándo utilizar FEM, FVM o FDM — Seleccione el método numérico determinista que subyace al estudio UQ.

Lectura adicional

• Verificación, validación y cuantificación de incertidumbre ASME
• Academias Nacionales: Cuantificación de la Incertidumbre
• Guía de mejores prácticas de PTB para la cuantificación de la incertidumbre
• Documentación de UQPY
• Documentación del caosp
• Documentación salib
• Documentación de la caja de herramientas de modelado sustituto
• Documentación de incertidumbre

Conclusión

La cuantificación de incertidumbre convierte las entradas de simulación inciertas en distribuciones, intervalos o probabilidades para los resultados previstos. El análisis de sensibilidad explica qué insumos e interacciones son responsables de esos resultados.

Monte Carlo sigue siendo el método de propagación más general. El caos polinomial y la colocación estocástica pueden ser más eficientes para modelos de dimensiones suaves y de baja eficacia. Las expansiones escasas y los modelos sustitutos pueden extender estos métodos a aplicaciones de dimensiones más caras o moderadamente más altas, pero requieren una validación cuidadosa.

Los índices SOBOL proporcionan una atribución de varianza cuantitativa, mientras que Morris ofrece una evaluación económica en etapa inicial. SALIB, UQPY, Chaospy, SMT y UnderpaidPY admiten diferentes partes de este flujo de trabajo en lugar de un conjunto de capacidades idénticos.

Un estudio UQ creíble comienza antes de la toma de muestras. Identifica fuentes de incertidumbre, verifica la convergencia numérica, justifica distribuciones, valida sustitutos, mide el error de estimación e informa cada suposición importante.

El propósito no es fijar barras de error mecánicamente. Es comprender qué controla la predicción, cuánta confianza respalda la evidencia disponible y qué acción reduciría de manera más efectiva la incertidumbre.