Quantification de l’incertitude et analyse de sensibilité dans la simulation scientifique

Une simulation scientifique reçoit rarement des entrées parfaitement connues. Les propriétés des matériaux proviennent de mesures avec des barres d’erreur. Les conditions aux limites varient selon les expériences. Les états initiaux ne peuvent être que partiellement observés. Les modèles numériques simplifient également les processus physiques qui ne peuvent pas être représentés en détail.

La quantification de l’incertitude, généralement raccourcie en UQ, étudie comment ces incertitudes affectent les prédictions de simulation. L’analyse de sensibilité demande quelles entrées incertaines sont responsables des changements observés dans la sortie.

Les deux disciplines soutiennent des décisions différentes. L’UQ peut montrer qu’une température maximale prévue se situe dans un intervalle large. L’analyse de sensibilité peut révéler que la majeure partie de cet intervalle est causée par l’incertitude de la conductivité thermique plutôt que la capacité thermique ou la température limite.

Utilisés ensemble, ils aident les chercheurs à signaler des intervalles de prédiction crédibles, à prioriser de nouvelles mesures, à simplifier des modèles et à concevoir des campagnes de simulation plus efficaces.

Qu’est-ce que la quantification de l’incertitude ?

Considérez un modèle informatique :

Y = M(X)

Le vecteur X contient des entrées incertaines, tandis que Y est une quantité prédite d’intérêt. Les exemples de Y incluent le stress maximal, le rendement de réaction, la température, la longueur de la fissure, le temps d’arrivée des vagues ou la chute de pression.

UQ attribue des descriptions mathématiques aux entrées incertaines et les propage à travers le modèle. Le résultat peut inclure :

• Valeur attendue
• Écart et écart type
• quantiles
• Prédiction ou intervalles crédibles
• Probabilité de dépasser un seuil de sécurité
• Distributions de probabilité de sortie complètes

UQ ne prouve pas automatiquement qu’un modèle est correct. Il décrit les conséquences des hypothèses d’incertitude spécifiées. Des distributions incorrectes, des sources d’incertitude manquantes ou un modèle physique non valide peuvent toujours produire des intervalles trompeurs.

Qu’est-ce que l’analyse de sensibilité ?

L’analyse de sensibilité mesure la façon dont les modifications des entrées du modèle affectent une sortie. Il peut répondre à des questions telles que :

• Quels paramètres contribuent le plus à la variance de sortie ?
• Quelles entrées n’ont presque aucun effet ?
• Les interactions entre les paramètres sont-elles importantes ?
• Quelle mesure doit être améliorée en premier ?
• Le modèle peut-il être réduit sans modifier ses prédictions ?

Un paramètre peut avoir une large plage d’incertitude mais peu d’effet sur la sortie. Un autre paramètre peut être connu de manière assez précise mais a une forte influence physique. La sensibilité dépend à la fois de la réponse du modèle et de l’incertitude d’entrée supposée.

UQ dans le cadre VVUQ

La vérification, la validation et la quantification de l’incertitude forment un cadre de crédibilité connecté :

1. Vérification : Les équations sont-elles implémentées et résolues correctement ?
2. Validation : Le modèle représente-t-il le système réel de manière adéquate pour son utilisation prévue ?
3. Quantification de l’incertitude : Comment les intrants incertains, les hypothèses de modèles et les autres sources d’incertitude affectent-elles les prédictions ?

L’analyse de sensibilité soutient ce cadre en identifiant les hypothèses et les paramètres les plus influencés par les quantités utilisées dans une décision.

Le asme Portefeuille de normes VVUQ fournit des conseils spécifiques à un domaine pour évaluer la crédibilité des modèles de calcul. Le guide Matforge associé sur Vérification et validation dans les simulations scientifiques explique le processus plus large.

Sources d’incertitude

Une étude UQ utile commence par un inventaire d’incertitude. Les chercheurs doivent identifier où l’incertitude entre dans le modèle avant de sélectionner une méthode numérique.

Incertitude aléatoire

L’incertitude aléatoire représente la variabilité inhérente à une population ou à un processus. Les exemples incluent la variation de la taille des grains, le chargement aléatoire, les tolérances de fabrication ou les conditions environnementales.

Cette variabilité n’est pas supprimée en mesurant plus précisément un échantillon. Il est généralement représenté par des distributions de probabilité estimées à partir d’observations répétées.

Incertitude épistémique

L’incertitude épistémique représente une connaissance incomplète. Les exemples incluent des paramètres mal mesurés, des conditions aux limites inconnues, des données expérimentales limitées ou une loi constitutive incertaine.

Il peut être réduit grâce à de nouvelles expériences, à des capteurs améliorés, à une théorie supplémentaire ou à un modèle plus détaillé. Une distribution de probabilité peut être utilisée lorsqu’il existe suffisamment d’informations, mais les intervalles, les ensembles, les boîtes de probabilité ou d’autres représentations imprécises peuvent être plus défendables lorsque les données sont faibles.

Incertitude du modèle

L’incertitude du modèle-forme survient parce que les équations omettent ou simplifient les processus physiques réels. Une fermeture de turbulence, un mécanisme de réaction, une loi de contact ou un modèle constitutif d’ordre réduit peuvent rester imparfaits même lorsque ses paramètres sont connus.

La propagation d’entrée seule ne capture pas l’incertitude du modèle. Les chercheurs peuvent avoir besoin de plusieurs formes de modèles, de termes de divergence, de données de validation ou de jugement d’expert.

Incertitude numérique

La discrétisation, les tolérances itératives, l’erreur de substitution et l’erreur d’échantillonnage affectent également les prédictions signalées. Ceux-ci ne doivent pas être mélangés silencieusement avec l’incertitude des paramètres physiques.

Une convergence de maillage et de pas de temps devrait normalement être établie avant une grande campagne UQ. Sinon, l’étude peut propager des entrées incertaines via une solution qui n’est pas convergée numériquement.

Le Académies nationales Discussion sur la quantification de l’incertitude Identifier et caractériser les sources d’incertitude dans le cadre d’une prédiction de calcul crédible.

Un flux de travail UQ général

1. Définissez la quantité de prédiction ou de décision.
2. Vérifiez la mise en œuvre informatique.
3. Évaluer la convergence numérique.
4. Énumérez les paramètres incertains, les données de limites et les hypothèses du modèle.
5. Séparez les incertitudes aléatoires, épistémiques, de forme modèle et numériques si possible.
6. Attribuez des plages, distributions ou limites justifiées.
7. Sélectionnez une méthode d’échantillonnage ou de substitution.
8. Exécutez la campagne de calcul.
9. Estimez les statistiques de production et les mesures de sensibilité.
10. Valider la convergence de substitution et vérifier la convergence des estimations de l’UQ.
11. Signalez les hypothèses, les échecs et les limites.

Monte-Carlo et Quasi-Monte-Carlo

La propagation de Monte Carlo est la base de référence générale. Les échantillons sont tirés de la distribution d’entrée conjointe, la simulation est évaluée pour chaque échantillon et les statistiques de sortie sont estimées à partir de l’ensemble résultant.

Son principal avantage est la flexibilité. Il ne nécessite pas que la réponse soit lisse ou polynomiale. Il peut être appliqué à des sorties discontinues, à des événements de seuil et à des modèles complexes de boîte noire.

Sa principale limitation est la convergence statistique lente. L’erreur type d’une estimation ordinaire de Monte Carlo diminue généralement proportionnellement à :

N^(-1/2)

Quasi-Monte Carlo utilise des séquences de faible écart pour couvrir l’espace des paramètres plus uniformément. Le quasi-monte-Carlo randomisé peut également soutenir des estimations d’incertitude tout en améliorant souvent la convergence pratique pour des intégrandes suffisamment réguliers.

Les stratégies d’échantillonnage, y compris Monte Carlo, l’échantillonnage hypercube latin, les séquences de SOBOL et le QMC randomisé sont couverts dans le Guide des méthodes de Monte Carlo.

Extension du chaos polynomial

L’expansion du chaos polynomial se rapproche de la sortie du modèle comme une somme des polynômes orthogonaux des entrées incertaines :

Y(X) ≈ Σ cₖ Ψₖ(X)

Les fonctions de base Ψₖ sont sélectionnées pour être orthogonales par rapport aux distributions de probabilité d’entrée. Les polynômes de Legendre sont généralement associés à des entrées uniformes, tandis que les polynômes hermites sont associés à des entrées gaussiennes.

Les coefficients cₖ peuvent être estimés par la régression, la quadrature, la projection ou une reformulation intrusive des équations gouvernantes.

PCE non intrusif

Un PCE non intrusif traite le simulateur comme une boîte noire. Le workflow est :

1. Sélectionnez une base polynomiale.
2. générer des points d’entraînement ou de quadrature.
3. Exécutez le simulateur d’origine à ces points.
4. Estimez les coefficients d’expansion.
5. Valider l’extension sur des points indépendants.

Cette approche peut être ajoutée autour d’un CFD, d’un élément fini, d’un champ de phase ou d’un modèle moléculaire existant sans modifier ses équations internes.

PCE intrusive

Une formulation intrusive substitue l’expansion dans les équations gouvernantes et dérive un système déterministe couplé pour les coefficients.

Il peut être efficace pour des équations appropriées mais nécessite des modifications majeures du solveur. Le système couplé peut également devenir important et difficile à préconditionner.

Lorsque PCE est efficace

Le PCE peut converger rapidement lorsque la réponse du modèle varie en douceur avec les entrées incertaines et que la dimension effective des paramètres est modeste.

Il ne doit pas être décrit avec un facteur de accélération universel. Le nombre de simulations requises dépend de :

• Nombre de paramètres incertains
• commande polynomiale
• Force des interactions de paramètres
• douceur de la réponse
• Stratégie de régression ou de quadrature
• Précision souhaitée
• Qualité de la conception expérimentale

Pour les réponses discontinues, les bifurcations, les changements de contact, les événements de seuil ou les défaillances de solveurs, une expansion polynomiale globale peut converger lentement ou créer des artefacts oscillatoires.

La malédiction de la dimensionnalité

Une base polynomiale d’ordre de degré de degré total p dans d Les paramètres incertains contiennent :

Number of terms = (d + p)! / (d! p!)

Pour 20 paramètres et ordre trois, cela produit 1 771 termes. Une régression stable nécessite généralement plus de points d’entraînement que de coefficients, de sorte que la demande de calcul peut rapidement devenir impraticable.

Le nombre de paramètres à lui seul n’est pas le problème complet. Un modèle nominalement élevé peut encore avoir une dimension effective faible si seulement quelques paramètres ou interactions contrôlent la réponse.

Chaos polynomial clairsemé

Le PCE clairsemé réduit le nombre de termes de base candidats ou ne sélectionne que les termes pris en charge par les données disponibles.

Les approches courantes comprennent :

• troncature hyperbolique, qui pénalise les termes d’interaction d’ordre élevé
• Régression du moindre angle
• Lasso ou autre régression régularisée
• Détection compressive
• Enrichissement de base adaptative
• Grilles en quadrature clairsemées de Smolyak

Les méthodes parcimonieuses peuvent étendre le PCE à des jeux de paramètres plus grands, mais elles n’éliminent pas automatiquement les problèmes de dimensionnalité. Leur succès dépend de la parcimonie des coefficients et des interactions d’ordre faible.

Le Guide des meilleures pratiques PTB aborde le chaos polynomial, les grilles clairsemées et les considérations de dimensionnalité dans l’analyse de l’incertitude.

Statistiques et sensibilité de PCE

Lorsque la base est orthonormée, les moments de sortie peuvent être obtenus directement à partir des coefficients de dilatation.

Le coefficient constant donne la moyenne :

E[Y] = c₀

La variance est la somme des coefficients non constants au carré :

Var[Y] = Σ cₖ²

Les indices SOBOL peuvent être calculés en regroupant les coefficients en fonction des variables présentes dans chaque terme polynomial. Cela ne nécessite aucune évaluation supplémentaire coûteuse de la simulation d’origine une fois que le PCE a été installé.

Le calcul de la sensibilité est peu coûteux, mais le PCE lui-même doit d’abord être montré pour se rapprocher du modèle avec précision.

Colocation stochastique

La collocation stochastique évalue le simulateur déterministe à des points sélectionnés dans l’espace d’incertitude et construit une approximation basée sur l’interpolation ou la projection.

La quadrature gaussienne peut bien fonctionner dans des dimensions basses. Les grilles clairsemées réduisent la croissance du nombre de points multidimensionnels. Les grilles adaptatives ajoutent des points où la réponse nécessite une plus grande résolution.

Les échantillons ordinaires de Sobol ou d’Hypercube latin sont utiles pour les substituts basés sur la régression, mais ils ne doivent pas être confondus avec les règles de collocation en quadrature classiques.

UQ basée sur les substituts

Lorsqu’une simulation haute fidélité prend des heures ou des jours, une mère porteuse peut être nécessaire. Un substitut est formé sur un ensemble limité de simulations coûteuses, puis évalué à bon marché lors de la propagation de l’incertitude.

Les choix courants comprennent :

• Surfaces de réponse polynomiales
• Extensions de chaos polynomiaux
• Processus gaussien ou modèles de krige
• Fonctions de base radiale
• Modèles d’ordre réduit
• Neuro-réseau substituts

Un substitut ajoute une nouvelle incertitude Source : Erreur d’approximation. Il doit être validé sur des points qui n’ont pas été utilisés lors de la formation.

Le guide de substitution d’apprentissage automatique Explique la sélection et la validation du modèle plus en détail.

Analyse de sensibilité locale et globale

L’analyse de sensibilité locale examine les dérivés proches d’un état de référence :

∂Y / ∂Xᵢ

Il est utile pour l’optimisation basée sur le gradient, l’étalonnage et les petites perturbations. Il peut manquer un comportement non linéaire et des interactions ailleurs dans l’espace des paramètres.

L’analyse de sensibilité globale varie les intrants selon leurs plages ou distributions assignées. Il convient mieux aux modèles non linéaires et à l’attribution d’incertitude.

Indices de sensibilité SOBOL

L’analyse de SOBOL décompose la variance de sortie en contributions des paramètres individuels et de leurs interactions.

L’index du premier ordre est :

Sᵢ =
Var(E[Y | Xᵢ])
/ Var(Y)

Il mesure la variance expliquée par le paramètre Xᵢ seul.

L’indice d’ordre total comprend le paramètre et chaque interaction qui l’implique :

S_Tᵢ =
1 - Var(E[Y | X₋ᵢ])
    / Var(Y)

Une grande différence entre les indices d’ordre total et de premier ordre suggère que les interactions sont importantes.

La décomposition de SOBOL classique suppose généralement des variables d’entrée indépendantes. Les entrées dépendantes nécessitent des méthodes ou des transformations modifiées, et leurs indices doivent être interprétés différemment.

Projection de Morris

La méthode Morris est une technique de dépistage économique. Il calcule les effets élémentaires le long de plusieurs trajectoires dans l’espace d’entrée.

Deux résumés courants sont :

• μ*, l’effet élémentaire absolu moyen, utilisé comme mesure d’importance
• σ, la propagation des effets, indiquant la non-linéarité, les interactions ou les deux

Morris ne fournit pas de décomposition directe de la variance de sortie. Son objectif est de séparer les entrées clairement sans importance des paramètres qui nécessitent une analyse plus détaillée.

Méthodes rapides et autres

Le test de sensibilité à l’amplitude de Fourier attribue des fréquences à la variation d’entrée et estime les contributions de variance du spectre de Fourier de la réponse du modèle.

D’autres méthodes servent des objectifs différents :

• RBD-Fast pour une analyse efficace du premier ordre
• Pion pour la sensibilité basée sur la distribution
• Mesures indépendantes du moment Delta
• Mesures de sensibilité globale basées sur les dérivés
• Coefficients de régression normalisés pour les modèles approximativement linéaires

Aucune mesure de sensibilité n’est universellement la meilleure. La méthode doit correspondre au coût du modèle, à la structure de dépendance, à la non-linéarité et à la question scientifique.

Outils Python pour UQ et sensibilité

L’écosystème est spécialisé plutôt que strictement tout-en-un. Un projet peut utiliser Salib pour le dépistage, Chaospy ou UQPY pour PCE et SMT pour un substitut de modèle coûteux.

Un exemple PCE avec Chaospy

L’exemple suivant correspond à une approximation polynomiale d’un modèle à deux entrées par régression :

import chaospy as cp
import numpy as np

# Independent uncertain parameters
distribution = cp.J(
    cp.Uniform(0.8, 1.2),
    cp.Normal(2.0, 0.1)
)

# Total-degree polynomial basis
order = 3
expansion = cp.generate_expansion(
    order,
    distribution
)

# Experimental design
sample_count = 100
samples = distribution.sample(
    sample_count,
    rule="sobol"
)

def model(sample):
    conductivity = sample[0]
    source_strength = sample[1]

    return (
        source_strength
        / conductivity
        + 0.2 * conductivity ** 2
    )

evaluations = np.array([
    model(samples[:, index])
    for index in range(sample_count)
])

# Fit non-intrusive PCE by regression
approximation = cp.fit_regression(
    expansion,
    samples,
    evaluations
)

mean = cp.E(
    approximation,
    distribution
)

variance = cp.Var(
    approximation,
    distribution
)

first_order = cp.Sens_m(
    approximation,
    distribution
)

total_order = cp.Sens_t(
    approximation,
    distribution
)

print("Mean:", float(mean))
print("Standard deviation:", float(np.sqrt(variance)))
print("First-order Sobol indices:", first_order)
print("Total-order Sobol indices:", total_order)

Ce calcul n’a de sens qu’une fois que l’approximation polynomiale a été vérifiée sur des échantillons de validation indépendants.

Un exemple de SOBOL avec salib

import numpy as np

from SALib.sample import sobol as sobol_sample
from SALib.analyze import sobol as sobol_analyze

problem = {
    "num_vars": 3,
    "names": [
        "conductivity",
        "heat_capacity",
        "source_strength"
    ],
    "bounds": [
        [0.8, 1.2],
        [0.9, 1.1],
        [1.5, 2.5]
    ]
}

parameter_values = sobol_sample.sample(
    problem,
    N=1024,
    calc_second_order=False,
    seed=42
)

def model(parameters):
    conductivity = parameters[0]
    heat_capacity = parameters[1]
    source_strength = parameters[2]

    return (
        source_strength
        / (conductivity * heat_capacity)
        + 0.1 * conductivity ** 2
    )

outputs = np.array([
    model(parameters)
    for parameters in parameter_values
])

indices = sobol_analyze.analyze(
    problem,
    outputs,
    calc_second_order=False,
    print_to_console=False
)

for index, name in enumerate(problem["names"]):
    print(name)
    print("  First order:", indices["S1"][index])
    print("  Total order:", indices["ST"][index])

Le nombre d’échantillons utilisé par une conception de SOBOL est supérieur à la valeur de base N. Cela dépend du nombre de variables et si des indices de second ordre sont demandés.

Validation d’un substitut ou d’un PCE

Une mère porteuse ne doit pas être jugée uniquement par son erreur de formation. Utilisez des points de validation indépendants et examinez :

• Erreur au carré moyenne de la racine
• Erreur maximale
• Erreur relative près des seuils importants
• Couverture des intervalles prévus
• Modèles résiduels
• Précision des moments et des quantiles
• Stabilité des classements de sensibilité

La validation croisée peut prendre en charge la sélection du modèle, mais un ensemble de tests intact final reste précieux.

Si un substitut est inexact dans une petite région avec une probabilité de défaillance élevée ou une conséquence de sécurité, une faible erreur moyenne globale peut encore être inacceptable.

Choisir une méthode

erreurs courantes

• Commencer par une grande campagne UQ avant de vérifier la convergence numérique
• Attribution de distributions sans données ou jugement d’expert documenté
• Traiter l’incertitude aléatoire et épistémique comme interchangeable
• Ignorer l’incertitude du modèle
• Utilisation d’une base polynomiale complète dans un problème de grande dimension sans vérifier la taille de base
• En supposant que le PCE parcimonieux fonctionnera pour chaque modèle de 20 ou 50 paramètres
• Signaler des moments PCE sans valider la mère porteuse
• Utilisation des indices SOBOL classiques pour les entrées dépendantes sans modification
• Des mesures de dépistage déroutantes de Morris avec des contributions de variance
• Signaler des indices de sensibilité sans intervalles de confiance
• Supprimer les simulations défaillantes sans étudier la région de défaillance
• Erreur d’échantillonnage, erreur de substitution et erreur de discrétisation numérique
• Reporter une accélération universelle pour une méthode UQ

Une campagne UQ reproductible

Une étude prête à être publiée doit enregistrer :

• Versions de modèles et de logiciels
• Distributions d’entrée, limites, corrélations et preuves à l’appui
• Graines aléatoires et méthode d’échantillonnage
• Nombre d’échantillons ou de simulations d’entraînement
• Ordre polynomial ou hyperparamètres de substitution
• Méthode de régression et de régularisation
• Conception de validation
• Échecs du solveur et exécutions exclues
• Intervalles de confiance pour les statistiques estimées
• Convergence vérifie les moments et les indices de sensibilité

Le Guide de balayages de paramètres reproductibles fournit une structure utile pour la planification et la documentation de ces campagnes.

Exemple de modélisation des matériaux

Envisagez un modèle de champ de phase avec une mobilité incertaine, une énergie interfaciale, une diffusivité, une composition initiale et un taux de refroidissement.

Un flux de travail pratique pourrait être :

1. Vérifier la convergence spatiale et temporelle du solveur déterministe.
2. Définir des distributions à partir d’expériences ou de littérature.
3. Utilisez le dépistage de Morris pour identifier les paramètres influents.
4. Construisez un PCE ou un substitut de krige à l’aide du jeu d’entrées réduit.
5. Validez le substitut contre des courses de phase indépendantes.
6. Estimez l’incertitude quant à la taille des grains, à la fraction de phase ou au temps de solidification.
7. Calculez les indices SOBOL.
8. Priorisez de nouvelles mesures pour les paramètres qui génèrent la plus grande variance.

Le Introduction à la modélisation des matériaux Les modèles de calcul qui peuvent être intégrés dans un tel flux de travail.

Guides connexes

• Méthodes de Monte Carlo pour les simulations scientifiques — Comparez l’échantillonnage aléatoire, le QMC, le LHS et le comportement de convergence.
• Vérification vs validation dans les simulations scientifiques — placez UQ dans un processus complet de crédibilité du modèle.
• Amélioration des paramètres reproductibles — Planifiez des campagnes de simulation et conservez des enregistrements expérimentaux complets.
• Substatives d’apprentissage automatique pour les simulations scientifiques — Créez et validez des approximations peu coûteuses de modèles coûteux.
• Quand utiliser FEM, FVM ou FDM — Sélectionnez la méthode numérique déterministe sous-jacente à l’étude UQ.

Lectures complémentaires

• Vérification, validation et quantification de l’incertitude ASME
• Académies nationales : quantification de l’incertitude
• Guide des meilleures pratiques du PTB pour la quantification de l’incertitude
• Documentation UQPY
• Documentation Chaospy
• Documentation SALIB
• Documentation de la boîte à outils de modélisation de substitution
• Documentation d’incertitude

Conclusion

La quantification de l’incertitude convertit les entrées de simulation incertaines en distributions, intervalles ou probabilités pour les sorties prévues. L’analyse de sensibilité explique les entrées et les interactions qui sont responsables de ces résultats.

Monte Carlo reste la méthode de propagation la plus générale. Le chaos polynomial et la collocation stochastique peuvent être plus efficaces pour les modèles lisses et peu efficaces. Les extensions clairsemées et les modèles de substitution peuvent étendre ces méthodes à des applications plus coûteuses ou modérément plus élevées, mais elles nécessitent une validation minutieuse.

Les indices SOBOL fournissent une attribution quantitative de la variance, tandis que Morris propose un dépistage économique à un stade précoce. Salib, UQPY, Chaospy, SMT et IncertainPy prennent en charge différentes parties de ce flux de travail plutôt qu’un ensemble identique de capacités.

Une étude crédible de l’UQ commence avant l’échantillonnage. Il identifie les sources d’incertitude, vérifie la convergence numérique, justifie les distributions, valide les substituts, mesure l’erreur d’estimation et rapporte toutes les hypothèses importantes.

Le but n’est pas de fixer mécaniquement des barres d’erreur. Il s’agit de comprendre ce qui contrôle la prédiction, la confiance que les preuves disponibles soutiennent et quelle action réduirait le plus efficacement l’incertitude.